En mi opinión, la ecuación de Newton tiene más sentido como ecuación de campos vectoriales. Sea $(M,g)$ sea una variedad (pseudo)riemanniana con una conexión riemanniana $\nabla$ . Entonces las ecuaciones de movimiento para una fuerza conservadora dependiente de la posición $F$ vienen dadas por $$m {}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}=F\circ \gamma=-(\nabla V) \circ \gamma,$$ donde $\gamma: \mathbb{R} \supset I \to M$ es la curva deseada, ${}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}}$ es el pullback de la conexión de Riemann, y $\nabla V$ es el campo vectorial del gradiente de $V$ definido a través de $dV(\cdot)=g(\nabla V, \cdot)$ .
Ahora bien, si quieres escribir esto en términos de formas diferenciales, tendrías que convertir ${}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}$ en el lenguaje de los formularios. ¿Consideras que algo como $$m (g\circ \gamma)({}^{\gamma}\nabla_{\frac{d}{dt}} \frac{d\gamma}{dt}, \cdot)=-(dV \circ \gamma)(\cdot)$$ como una ecuación para formas diferenciales a lo largo de $\gamma$ ¿natural? No lo sé, y no veo una forma "natural" de evitarlo.
