Derivado de $f(x)^{g(x)}$ en los puntos en los que $f(x)=0$

Question

Estoy interesado en comprender el comportamiento general de la derivada para $$f(x)^{g(x)}$$ en los puntos donde $f(x)=0$ .

Por ejemplo, si $f^g=x^n$ tenemos $$\frac{d}{dx}f^g(0)=\begin{cases}0 & n\ge 1 \\ \pm\infty & n<1\end{cases}$$

La fórmula general $$(f^g)'=f^g\left(g'\ln |f|+g\frac{f'}{f}\right)$$ se rompe cuando $f=0$ aunque, como muestra el ejemplo anterior, la derivada puede seguir existiendo.

No estoy seguro de cuáles deberían ser los supuestos adecuados. Tentativamente, tome $f(x)^{g(x)}\ge 0$ para todos $x$ en el dominio correspondiente, por lo que (creo) tenemos $$\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)\ln |f(x)|$$ cuando $f$ es estrictamente positivo e indefinido en caso contrario.

Además, ¿hay algún ejemplo no trivial de un bien definido función (que significa "agradable", como en diferenciable en casi todas partes) $f^g$ donde $f$ toma valores negativos y donde $g$ no es constante? En otras palabras, para los casos de $f<0$ son las únicas funciones que vale la pena considerar de la forma $f^c$ para las constantes $c$ ?

EDITAR: Quiero que la(s) función(es) sea(n) real(es), aunque los argumentos que utilizan números complejos son, por supuesto, admisibles.

Answer 1

Me imagino que para f<0 negativo se puede escribir:

$f^g=(-1)^g\,|\,f\,|^g=e^{\pm i \pi\, g}|\,f\,|^g=(\cos(\pi\,g)\pm i\,\sin(\pi\,g))|\,f\,|^g$

Así que en general es una función de valor complejo y el argumento (o la fase) de la función f^g es independiente de f. También hay dos opciones posibles para la parte imaginaria de la función. Una vez hecha esa elección, me imagino que hay muchos ejemplos que son diferenciables (f y g diferenciables deberían funcionar) siempre que no te importe tener una función compleja de una variable real.