Carga topológica. ¿Qué es físicamente?

Question

He visto el término carga topológica definido de una manera matemáticamente abstracta como un esquema de etiquetado para partículas que siguen ciertas reglas. Sin embargo, me queda la duda al intentar explicar qué propiedades físicas de un sistema llevan a la necesidad de introducir este nuevo tipo de "carga".

Si hace alguna diferencia, estoy interesado en estudiar las propiedades estadísticas de los sistemas de Quantum Hall (y en particular la interferometría anyónica), donde las diferentes cargas topológicas contribuyen al número total de estados cuánticos.

Answer 1

Excitaciones locales de cuasipartículas y excitaciones cuasipartículas topológicas

Para comprender y clasificar las cuasipartículas anyónicas en estados con orden topológico, como los estados FQH, es importante entender las nociones de excitaciones locales de cuasipartículas y excitaciones cuasipartículas topológicas. Primero definamos la noción de excitaciones "tipo partícula".

Consideremos un sistema con simetría de traslación. El estado base tiene una densidad de energía uniforme. Si tenemos un estado con una excitación, podemos observar la distribución de energía del estado en el espacio. Si para alguna área local la densidad de energía es mayor que en el estado base, mientras que para el resto del área la densidad de energía es la misma que en el estado base, se puede decir que hay una excitación "tipo partícula", o una cuasipartícula, en esa área. Las cuasipartículas definidas de esta manera pueden dividirse aún más en dos tipos. El primer tipo puede ser creado o aniquilado por operadores locales, como un cambio de espín. Por lo tanto, no son robustos ante perturbaciones. El segundo tipo son estados robustos. La densidad de energía local más alta no puede ser creada o eliminada por cualquier operador local en esa área. Nos referiremos al primer tipo de cuasipartículas como cuasipartículas locales, y al segundo tipo de cuasipartículas como cuasipartículas topológicas.

Como ejemplo simple, consideremos el modelo de Ising 1D con condición de contorno abierta. Hay dos estados base, con todos los espines hacia arriba o todos los espines hacia abajo. Simplemente cambiar un espín del estado base lleva al estado excitado segundo, y crea una cuasipartícula local. Por otro lado, el estado excitado primero parece una pared de dominio. Por ejemplo, los espines a la izquierda están hacia arriba mientras que los de la derecha están hacia abajo, y la pared de dominio entre el dominio de arriba y el dominio de abajo es una cuasipartícula topológica. Cambiar los espines junto a la pared de dominio mueve la cuasipartícula pero no la puede eliminar. Estas cuasipartículas están protegidas por la condición de contorno. Mientras los dos espines del borde sean opuestos, habrá al menos una pared de dominio, o una cuasipartícula topológica en el bulk. Además, un cambio de espín se puede ver como dos paredes de dominio.

A partir de las nociones de cuasipartículas locales y cuasipartículas topológicas, también podemos introducir la noción tipos de cuasipartículas topológicas (es decir, cargas topológicas), o simplemente, tipos de cuasipartículas. Decimos que las cuasipartículas locales son del tipo trivial, mientras que las cuasipartículas topológicas son de tipos no triviales. Además, dos cuasipartículas topológicas son del mismo tipo si y solo si difieren por cuasipartículas locales. En otras palabras, podemos convertir una cuasipartícula topológica en la otra aplicando algunos operadores locales. El número total de tipos de cuasipartículas topológicas (incluido el tipo trivial) es también una propiedad topológica. Resulta que esta propiedad topológica está directamente relacionada con otra propiedad topológica de los estados topológicos de 2+1D: El número de tipos de cuasipartículas topológicas es igual a la degeneración del estado base en el toro. Esta es una de las muchas relaciones sorprendentes y profundas en el orden topológico.

Ver también ¿Por qué es común la estadística fraccional y no abeliana para cargas fraccionarias?, Una comprensión física de la fraccionalización, y ¿Cuál es la diferencia entre fraccionalización de carga en 1D y 2D?

Answer 2

La distinción entre cargas "ordinarias" y topológicas proviene del hecho de que la conservación de las cargas ordinarias es una consecuencia del teorema de Noether, es decir, cuando el sistema bajo consideración posee una simetría, entonces según el teorema de Noether, la carga correspondiente se conserva.

Las cargas topológicas, por otro lado, no corresponden a una simetría del modelo de sistema dado, y derivan de un procedimiento que puede llamarse cuantización topológica. Por favor, consulta el trabajo seminal de Orlando Alvarez explicando algunos aspectos de este tema. Estas cargas topológicas corresponden a invariantes topológicos de variedades relacionadas con el problema físico.

Uno de los ejemplos más básicos es la condición de cuantización de Dirac, que implica la cuantización de la carga magnética en unidades del recíproco de la carga eléctrica. Esta condición está relacionada con la cuantización de la primera clase de Chern del haz de líneas cuántico. También es posible obtener la condición de cuantización a partir del requisito de unicidad de la integral de trayectoria. La existencia de los invariantes topológicos está relacionada con una topología no trivial de la variedad bajo consideración, por ejemplo, grupos de homotopía no nulos, por favor, consulta la siguiente revisión de V.P. Nair.

Por supuesto, las cargas topológicas también pueden ser no abelianas; un ejemplo básico de este fenómeno es el monopolo 't Hooft-Polyakov, donde estas soluciones tienen cargas no abelianas correspondientes a vectores de peso del dual del grupo de calibre no roto. Por favor, consulta la siguiente revisión by Goddard and Olive.

Se debe enfatizar que la distinción entre cargas ordinarias y cargas topológicas depende del modelo, y las cargas "ordinarias" en un modelo de un sistema pueden surgir como cargas topológicas en otro modelo del mismo sistema. Por ejemplo, la carga eléctrica de una partícula puede obtenerse como una carga topológica en una descripción de Kaluza-Klein. Por favor, ve a sección 7.6 aquí en Marsden y Ratiu.

Las cargas topológicas a veces corresponden a parámetros enteros del modelo, por ejemplo, Witten logró obtener la cuantización del número de colores a partir de la cuantización (semiclásica) topológica del coeficiente del término de Wess-Zumino del modelo de Skyrme.

Un ejemplo simple, donde los números cuánticos pueden obtenerse como cargas topológicas es el oscilador armónico isótropo. Si consideramos un oscilador armónico isótropo en dos dimensiones, entonces sus hipersuperficies de energía son $3$-esferas, que pueden verse como paquetes de círculos sobre una esfera $2$ por la fibración de Hopf. Las esferas $2$ son los espacios de fase reducidos de las (hipersuperficies de energía) del oscilador de dos dimensiones. En la teoría cuántica, las áreas de estas esferas necesitan ser cuantizadas, para admitir un haz de líneas cuántico. Esta condición de cuantización es equivalente a la cuantización de la energía del oscilador armónico.

De hecho, estas representaciones alternativas de sistemas físicos, tales como cargas ordinarias que emergen como cargas topológicas, ofrecen posibles explicaciones para la cuantización de estas cargas en la naturaleza (el modelo de Kaluza-Klein para la carga eléctrica, por ejemplo).

Una dirección actual de investigación en estas líneas es encontrar "explicaciones" topológicas para las cargas fraccionarias. Uno de los ejemplos conocidos es la explicación de la hiperarga fraccional de los quarks (en unidades de $\frac{1}{3}$), que puede explicarse a partir del requisito de cancelación de anomalías (que es topológico) del modelo estándar, donde la contribución de los quarks debe ser multiplicada por $3$ (debido a los tres colores). Además de las anomalías, se sabe que la existencia de campos de diferentes representaciones irreducibles en el mismo modelo y configuraciones enlazadas separadamente pueden dar lugar a cargas fraccionarias.