Que $P$ ser un reclamo. Hay dos preguntas.
¿Es verdad en ZFC que $P$?
Y la otra es:
¿Es verdad que el $P$?
¿Cuál es la diferencia entre estas dos preguntas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Andreas Blass
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Sospecho que la "verdadera en ZFC" significa "demostrable en ZFC." La relación entre eso y simplemente el "verdadero" es más una cuestión filosófica de un matemático. Permítanme explicar dos de las muchas posibles posiciones filosóficas, en la esperanza de que ellos pueden dar una idea de la gama de posibilidades.
(1), una versión del formalismo: En matemáticas, no tenemos ninguna manera de saber que las cosas excepto por probar. Aceptamos, más o menos arbitrariamente, ZFC como el estándar de base para nuestras pruebas. Así que cuando algo está demostrado en ZFC, estamos dispuestos a decir que es verdadera. No tiene sentido hablar de la verdad, aparte de provability. Por lo tanto, "true" significa simplemente demostrable en ZFC.
(2), una versión del Platonismo: Hay un mundo de entidades abstractas, incluyendo los conjuntos y entidades relacionadas con el estudiado en matemáticas. Decir que un enunciado matemático es verdadero, es decir, que no corresponde a la situación real en este mundo ideal. Sólo tenemos una comprensión parcial y la intuición de que el mundo ideal; mucho de que la comprensión se resume en los axiomas de ZFC, por lo que nada es demostrable a partir de esos axiomas se sabe para ser verdad. Pero hay otras verdades que no puede ser capaz de demostrar y, de hecho, no tiene ninguna otra manera de conocer. Por lo tanto, "verdadero" es considerablemente más amplio de la noción de provability en ZFC.
Para ver cómo estos puntos de vista de trabajo en una situación trivial, considere el hecho de que (demostrable en ZFC) que, si ZFC es consistente, entonces ni demuestra ni refultes la hipótesis continua (CH). Un formalista (o, más precisamente, a alguien que se suscribe a la versión de formalismo que he descrito) a la conclusión de que, si ZFC es consistente, entonces CH no es ni verdadera ni falsa. (Para reconciliar a esta conclusión con la ley "p o no p" de la lógica clásica, al declarar CH a de sentido.) Y que podría tener un problema con la cuestión de la consistencia de ZFC, porque, si ZFC es consistente, entonces este hecho no es demostrable en ZFC.
Un Platónico gustaría empezar por el cepillado a un lado la cláusula "si ZFC es consistente"; es obvio que es coherente, porque es cierto. (Por lo que la consistencia de ZFC es un ejemplo de la verdad más allá de lo que es demostrable en ZFC). Él sabe que el CH cualquiera tiene o no se mantienen en el mundo de los conjuntos, pero probablemente él no sabe qué camino va. Por lo que sería feliz de encontrar nuevos axiomas que son claramente cierto (como los axiomas de ZFC) y decidir CH.
Creo que he expuesto tanto el formalismo y el Platónico posiciones bastante en formas extremas, así que no me sorprendería para obtener comentarios de los formalistas y real Platónicos de la objeción de que he injustamente distorsionada de sus posiciones. Espero que dichos comentarios se incluyen las correcciones de las distorsiones, así como a construir una imagen más precisa de las posiciones que hay gente que realmente tomar.
JoshL
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La terminología en la pregunta no se utiliza correctamente.
No hay una definición estándar de la verdad en un modelo dado en todos lógica de texto. Por ejemplo, la instrucción "$x^2 = -1$ tiene una solución" es falsa en los números reales (un modelo donde el valor de verdad de esa declaración se define) y es cierto en los números complejos (otro modelo donde el valor de verdad está definido).
Cuando hay una intención de interpretación de una teoría, podemos decir que una frase de lo que la teoría es simplemente verdadero si el enunciado es verdadero en la intención de interpretación. No cada teoría tiene una intención de interpretación, pero la mayoría de conjunto de los teóricos históricamente han creído que ZFC. Una manera en que podemos saber que un enunciado es verdadero es para probarlo, pero la verdad o la falsedad es independiente de nuestra capacidad para producir una prueba.
Del mismo modo, si las palabras de una declaración normal del inglés significados, la declaración es verdadera disquotationally si es cierto como una de las frases en inglés. Por ejemplo, "la palabra 'coche' tiene tres letras" es verdadera en este sentido. Para un ejemplo matemático, "el número 5 es el primer número natural" es también disquotationally verdadero basado en la costumbre inglés significados de la palabra que aprendemos mucho antes de aprender matemáticas avanzadas.
La frase de cierto en ZFC es un abuso de lenguaje. Una declaración puede ser demostrable en ZFC, disprovable en ZFC, o independiente de ZFC, pero no puede ser "verdadero" en ZFC. Lo más probable es que la pregunta que se propone es "demostrable en ZFC".
Que depende totalmente de lo que los supuestos teóricos están en silencio (por ejemplo, por estar implícito en el contexto) en la segunda pregunta. Si la persona que hace la segunda pregunta está trabajando en $\mathsf{ZFC}$, entonces no hay ninguna diferencia. Si la hipótesis de trabajo es $\mathsf{ZF}+\neg\mathsf{AC}$, por otro lado, las dos preguntas son muy diferentes. Y en el fondo la teoría de la necesidad de no estar basadas en $\mathsf{ZF}$ a todos; algunas alternativas que se listan aquí.
zyx
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