¿Me podría decir como resolver esta integral?
$$\int_0^{\infty} \frac{\cos x -1}{x^2}dx$$
Creo que debo centrarme en esta integral $$\int_{\Gamma} \frac{e^{iz}-1}{z^2+ \varepsilon^2}$ $
donde $\Gamma$ es una curva = semicírculo con radio $R \cup $segmento $[-R, R]$
La integral se desvanece en el semicírculo.
Los polos de $\frac{e^{iz}-1}{z^2+ \varepsilon^2}$ son $\varepsilon i, - \varepsilon i$.
Así $$\int_{\Gamma} \frac{e^{iz}-1}{z^2+ \varepsilon^2} = 2 \pi i \cdot res_{\varepsilon i} \left(\frac{e^{iz}-1}{z^2+ \varepsilon}\right) = 2 \pi i \frac{e^{- \varepsilon}-1}{2 \varepsilon i} = \frac{\pi (e^{- \varepsilon}-1)}{\varepsilon}$ $
Nos encontramos en situación de $\frac{0}{0}$, por lo que podemos utilizar el teorema de l ' Hospital de:
$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\pi (e^{- \varepsilon}-1)}{\varepsilon} = \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\pi \frac{- \varepsilon e^{- \varepsilon}}{1}$$
Pero la respuesta es $\frac{- \pi}{2}$
¿Podría decirme qué estoy haciendo mal?
