Si $G$ es un grupo de isometries de $X$ luego probar que $X/G$ y $X/\bar{G}$ homotopically equvalent

Question

Deje $X$ ser conectado localmente ruta de acceso conectado localmente compacto espacio métrico. Deje $G$ ser un grupo de isometrías de $X$ (que es un grupo de homeomorphisms de $X$ con sí mismo, que preserva la distancia). Deje $\bar{G}$ es el cierre de $G$ en Homeo$(X)$ dotado con la compacta abierta de la topología.

Deje $(P)$ ser la propiedad de que para todos los $x,x' \in X$ y un barrio de $V$ $x$ $X$ si $x' \in \bar{G}x$ $x' \in GV$

Quiero demostrar que la $X/G$ $X/\bar{G}$ son homotopically equivalente.

Me han demostrado que si $X$ $G$ satisfacer $(P)$ a continuación, se homotopically equivalente (yo, de hecho, han demostrado que este si $G$ es sólo un grupo de homeomorphisms de $X$ con sí mismo).

Para demostrar este resultado, me basta para mostrar que la propiedad $(P)$ es cierto cuando se $G$ es un grupo de isometrías de $X$. Pero no sé cómo hacerlo. Es allí una manera de demostrar que sin el uso de $(P)$?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que tenemos $x, x' \in X$ tal que $x' \in \bar{G}x$, y deje $V$ ser un barrio de $x$$X$. Deje $\epsilon $ el valor de la distancia de$x$$X - V$. Por lo $V$ contiene el $\epsilon $ pelota alrededor de $x$.

Ahora desde $G$ es un grupo de isometrías, para cualquier $g\in G$ $g$ traducir de esta $\epsilon $ - ball es el $\epsilon $ - bola alrededor de $g(x) $, lo que a su vez está contenido en $gV$. Así que vamos a hacer si podemos encontrar una $g\in G$ tal que $g(x) $ está dentro de un $\epsilon $ distancia de $x'$.

Desde $x' \in \bar{G}x$ existe un $\bar{g} \in \bar{G}$ tal que $\bar{g}(x)=x'$. Desde $\bar{g}\in G$ hay una neta $(g_{\alpha})$ de los puntos en $G$ convergentes a $\bar{g}$. Por lo $g_{\alpha}(x) \longrightarrow \bar{g}(x)=x'$, por Lo que para el $\epsilon$ - bola alrededor de $x'$ me $g_{\beta}$ a partir de esta red tal que $g_{\beta}(x)$ está dentro de$\epsilon$$x'$. Entonces estoy hecho. $\square$