¿Se puede ampliar base del núcleo a una base de Jordan?

Question

Que $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ser nilpotente. Una base de Jordan de $A$ es una base de $\mathbb C^n$ con respecto a que $A$ tiene la forma normal de Jordania. Asumir que no se conoce la estructura de Jordania de $A$. ¿Dada una base del núcleo de $A$, hay un criterio para decidir si esta base se puede ampliar a una base de Jordan de $A$ (tal vez en términos de poderes de $A^*$ o lo que sea)?

Answer 1

Este debe ser siempre posible.

Dada una base $\mathcal{B}$ $\ker A$ usted puede comprobar si tiene o no ya es una base de $\mathbb{C}^n$. Si no es una base de proceder como en la prueba de la existencia de la forma normal de Jordan y sumar vectores de $\ker A^m \backslash \ker A^{m-1}$ $\mathcal{B}$hasta obtener una base de $\mathbb{C}^n$. Como se trabaja a través de $\mathbb{C}$ sabemos que un Jordania existe una base, por lo que este procedimiento produce una base de $\mathbb{C}^n$ después de un número finito de pasos.

Como usted puede iniciar este procedimiento con cualquier base de $\ker A$, esto significa que cualquier base de $\ker A$ puede ser extendido a un Jordania base de $A$.