cohomología vs homología

Question

He aprendido lo básico sobre cohomología y homología. Parece que tanto la homología como la cohomología tratan los mismos objetos, los complejos, pero con una elección diferente de los índices (para la homología los índices son decrecientes y en la cohomología son crecientes).

¿Por qué en algunas aplicaciones geométricas se hace una selección radical y es importante distinguir la homología de la cohomología?

Por ejemplo, si se construye una homología de Cech en lugar de una cohomología de Cech, ¿cuáles son las diferencias?

Answer 1

Una respuesta breve es que la cohomología (de espacios, no de complejos de cadenas generales) lleva una estructura de anillo, la producto en forma de taza . Hay espacios con la misma homología y cohomología que los grupos, pero en los que la estructura de anillos sobre las cohomologías es diferente; en este caso se puede utilizar el producto taza para distinguirlos.

Probablemente se puedan decir muchas cosas en cuanto a una respuesta larga. Por ejemplo, para espacios agradables la cohomología es representable por Espacios Eilenberg-MacLane por lo que se puede decir mucho sobre la cohomología estudiando estos espacios (por ejemplo, clasificando operaciones de cohomología utilizando el El lema de Yoneda ), y cosas análogas no parecen ser ciertas para la homología.