Una peculiar caracterización de bolas abiertas en un espacio de Banach

Question

Que $E$ ser un espacio de Banach y un subconjunto abierto acotado de $U$ $E$.

Supongo que para cualquier $x,y\in U$, existe alguna bola abierta $B$ tal que $\{x,y\}\subset B\subset U$.

Demostrar que $U$ es una bola abierta.

He quedado encerrado en este problema aparentemente intuitivo por un día. He intentado contradicción y contraposición, sin resultado alguno. Aun no puedo encontrar por qué integridad importa aquí.

Estoy buscando una pista que me fijaría en el camino correcto.

Answer 1

Este es un lindo problema.

Me gustaría ver algo como esto: si vamos a mostrar $U$ es una pelota, tenemos que identificar un buen candidato para su radio, $R$ y su centro $c$.

Para $R$, se debe pensar que debe ser la mayor posible radio de una bola contenida en $U$. Así que vamos a $A \subset \mathbb{R}$ ser el conjunto de todos los números de $r$ tal que $U$ contiene una bola de radio $r$. Desde $U$ es acotado, $A$ está delimitado por encima, por lo que tiene un número finito de supremum. Tome $R = \sup A$ a ser el supremum.

Ahora queremos identificar el centro. Elija una secuencia $\{r_n\} \in A$$r_n \uparrow R$. A continuación, para cada una de las $n$ no es una bola de radio $r_n$$U$; deje $x_n$ ser el centro, de modo que $B(x_n, r_n) \subset U$. Intuitivamente, como $r_n$ se hace más grande, el balón $B(x_n, r_n)$ debe ocupar la mayor parte de $U$, dejando poco espacio para que se mueva a su alrededor. Por eso es razonable suponer que los puntos de $x_n$ no están muy lejos el uno del otro. De hecho, usted debe tratar de mostrar que $\{x_n\}$ es de Cauchy. Por integridad, converge a algún punto que tomaremos como $c$.

En la muestra es de Cauchy, usted puede tomar ventaja de los "dos puntos" propiedad de $U$, de la siguiente manera:

Lema. Supongamos $x,y \in E$ $s,t > 0$ son números reales. Para cualquier $\epsilon > 0$, existen puntos de $x' \in B(x,s)$ $y' \in B(y,t)$ tal que $\|x' - y'\| \ge s+t+\|x-y\|-\epsilon$.

A ver cómo elegir $x', y'$, dibujar una imagen de $x,y$ y las bolas $B(x,s), B(y,t)$. Dibuja una línea a través de$x$$y$.

Cuando tratando de mostrar a $\{x_n\}$ es de Cauchy, se puede considerar que las bolas $B(x_n, r_n)$$B(x_m, r_m)$. La elección de $x_n', x_m'$ como en el lema, por lo tanto existe una bola que contiene $x_n', x_m'$ y el contenido en $U$. Por lo tanto su radio es en la mayoría de las $R$. Esto le permite enlazado $\|x_n' - x_m'\|$ y por lo tanto también se $\|x_n - x_m\|$.

Ahora que $c,R$ han sido definidos, usted puede tratar de demostrar que $U = B(c,R)$. El $\supseteq$ dirección es sólo un triángulo desigualdad argumento. Para el $\subseteq$ dirección, usted querrá usar el hecho de que $U$ está abierto, y el lexema y los "dos puntos" de la propiedad de nuevo.