Derivada de un polinomio característico en un valor propio

Question

Dejemos que $p(\lambda)$ sea el polinomio característico de un $n\times n$ matriz $A$ . Sabemos que las raíces de $p(\lambda)$ son los valores propios de $A$ por lo que la suma de las raíces del polinomio (teniendo en cuenta la multiplicidad) es igual a $\mathrm{tr}(A)$ y el producto de las raíces es igual a $|A|\equiv\mathrm{det}(A)$ .

Desde $p(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)$ tenemos $p'(\lambda_1)=\prod_{i=2}^n(\lambda_1-\lambda_i)$ (numeración arbitraria de los valores propios). ¿Hay alguna forma de conectar este valor, es decir, la derivada del polinomio característico en una raíz/valor propio, con otras cantidades especiales relacionadas con $A$ ¿como los determinantes y el rastro?

Siento que la pregunta sea un poco vaga.

Muchas gracias a todos los que han respondido de antemano.

Answer 1

El origen algebraico lineal de la cuestión es una especie de pista falsa: Se puede tomar como una pregunta sobre la derivada de un polinomio complejo  $p$ en una raíz  $a$ . Escriba $$ p(x) = (x - a)^{k} q(x),\qquad q(a) \neq 0. $$ Si $k > 1$ entonces $p'(a) = 0$ , independientemente de las otras raíces. Si $k = 1$ es decir, $a$  es una raíz simple de  $p$ entonces $$ p'(x) = (x - a) q'(x) + q(x); $$ si $p$ factores por completo, con raíces  $a_{i}$ entonces $p'(a) = q(a) = \prod_{i} (a - a_{i})$ como tú dices. Esto se puede expandir como un polinomio en  $a$ cuyos coeficientes son los polinomios simétricos elementales en el  $a_{i}$ .

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Dicho esto, el valor $q(a) = \prod_{i} (a - a_{i})$ tiene una interpretación lineal-algebraica: Si $T:V \to V$ tiene un polinomio característico  $p$ , si $a$  es un valor propio, y si $E_{a}$  es un espacio unidimensional de $a$ -eigenvectores, el operador $aI - T$ induce un operador en el espacio cociente $V/E_{a}$ cuyos valores propios son los $a - a_{i}$ y cuyo determinante es por tanto  $q(a)$ .