Una pregunta de cálculo

Question

En el intervalo de $(0, \infty)$, la función $f \geq 0$, $f' \leq 0$, % y $f'' \geq 0$. Demostrar que $\lim\limits_{x \to \infty} xf'(x) = 0$.

Answer 1

Si el límite no es cero, hay un $\epsilon>0$ tal que $xf'(x) \le -\epsilon$ % arbitrariamente grande $x$. Así podemos construir una secuencia de $x_n$ tal que el $x_n\ge2^n$, $x_{n+1}\ge 2x_n$% y $x_nf'(x_n) \le -\epsilon$ % todos $n$. Pero luego las mitades inferiores de los rectángulos que la forma de #% de %#% de puntos con el origen que se encuentran por encima de la gráfica de $(x_n,-\epsilon/x_n)$ (es decir, entre ella y el eje de $f'$), están todos desunidos, y todos tienen área $x$. Se deduce que diverge el integral indefinido de $\epsilon/2$, es decir, $f'$, $f$, en contradicción con $-\infty$.

Answer 2

Por un lado, $f$ es monótona decreciente (desde $f' \leq 0$) y $f \geq 0$; por lo tanto, para un $l \geq 0$, $\lim _{x \to \infty } f(x) = l$. Por otro lado, $f'$ es monótona creciente (desde $f'' \geq 0$) y $f' \leq 0$; ahí $$ f (x) - f(x/2) = \int_{x/2}^x {f'du (u)} \le \int_{x/2}^x {f'(x) du} = f ' \frac{{x}} {2} \le 0. $$ % De dejar $x \to \infty$, la izquierda converge a $0$; por lo tanto, $x f'(x) \to 0$ demasiado.

Answer 3

$x>1$, $f(x)$ Limita por debajo de $0$ y por encima de $f(1)$. Por lo tanto $\lim_{x\to\infty} {f(x)\over \log x}=0$. Por la regla de l'Hopital, $\lim_{x\to\infty} xf'(x) =0$ así.