Prueba $\frac{ab}{4-d}+ \frac{bc}{4-a}+\frac{cd}{4-b}+\frac{da}{4-c} \leqslant \frac43$ % positivos $a,b,c,d$

Question

$a,b,c,d \geqslant 0$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=4$, $$\frac{ab}{4-d}+ \frac{bc}{4-a}+\frac{cd}{4-b}+\frac{da}{4-c} \leqslant \frac43$ $

Probar algunas técnicas de AM-GM inversas, pero fallan. No creo que la desigualdad cambio funciona debido a la naturaleza cíclica de esta desigualdad. Tratar de homogeneizar esta desigualdad para quitar el restringir, pero me mata la raíz cuadrada en el denominador.

Answer 1

Nota: en esta solución, $\sum$ denota la suma cíclica, así que el $\sum f(a, b, c, d)=f(a, b, c, d)+f(b, c, d, a)+f(c, d, a, b)+f(d, a, b, c)$.

Lema: $\sum c^4+2\sum abc^2+6\sum ab\le 36$.

Prueba: Ampliando la desigualdad $\sum[2(a-b)^2+(ab-1)^2]\ge 0$ da: $$6\sum ab\le 20+\sum a^2b^2$ $. Expandir $\sum (ab-ac)^2\ge 0$ da: %#% $ #% suma de estos, tenemos:\begin{align*} \sum c^4+2\sum abc^2+6\sum ab &\le 20+\sum c^4+2\sum a^2b^2+2(a^2c^2+b^2d^2) \\ &= 20+(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \\ &= 36 \end{align*} así que el lema es verdad según se requiera.

Ahora podemos usar el lema, junto con Cauchy Schwarz de la forma $$2\sum abc^2\le \sum a^2b^2+2(a^2c^2+b^2d^2)$:

\begin{align*} \sum\frac{ab}{4-d}&= \sum\frac{2ab}{7-d^2+(d-1)^2} \\ &\le \sum\frac{2ab}{7-d^2} \\ &= \sum\frac{2ab}{3+2ab+c^2+(a-b)^2} \\ &\le \sum\frac{2ab}{3+2ab+c^2} \\ &=4-\sum \frac{c^2+3}{c^2+2ab+3} \\ &=4-\sum \frac{(c^2+3)^2}{(c^4+2abc^2+6ab)+6c^2+9} \\ &\le 4-\frac{(\sum c^2+12)^2}{\sum(c^4+2abc^2+6ab)+6\sum c^2+36} \\ &\le 4-\frac{16^2}{36+60} \\ &=4-\frac{8}{3} \\ &=\frac{4}{3} \end{align*} por lo que se demuestra la desigualdad. Igualdad sostiene en $\sum \frac{x_i^2}{y_i}\ge \frac{(\sum x_i)^2}{\sum y_i}$.