¿Es el centro de la álgebra envolvente universal generada por el centro de la álgebra de mentira?

Question

Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra sobre un campo $k$, y deje $U(\mathfrak{g})$ ser universal de la envolvente de álgebra. $\mathfrak{g}$ es canónicamente incrustado en $U(\mathfrak{g})$; la identifica con su imagen. De fijación (totalmente estándar) notación, vamos

$$Z(\mathfrak{g}) = \{x\in \mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\forall y\in\mathfrak{g}\}$$

ser el centro de la $\mathfrak{g}$ (como una mentira álgebra) y dejar que

$$Z(U(\mathfrak{g})) = \{f\in U(\mathfrak{g}) \mid fg = gf,\forall g\in U(\mathfrak{g})\}$$

ser el centro de la $U(\mathfrak{g})$ (como un álgebra asociativa). El canónica de la incorporación de la $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ también incorpora $Z(\mathfrak{g})$$Z(U(\mathfrak{g}))$. Aquí está mi pregunta:

Es el caso de que $Z(U(\mathfrak{g}))$ es generado como un asociativa $k$-álgebra $Z(\mathfrak{g})$? ¿Cuál es la prueba?

Intuitivamente creo que debería, y he verificado que este a mano con un ad-hoc de cálculo en los casos especiales que $\mathfrak{g}$ es (1) la nonabelian 2-dimensional mentira álgebra $\mathbb{C}$, y (2) el Heisenberg de álgebra. Mientras que mi cálculo "se siente" un poco general, no he sido capaz de ganarse el argumento general de la misma.

Gracias de antemano por sus pensamientos.

Answer 1

Si el centro de la $\mathfrak{g}$ es 0, esto sólo significa que los $U(\mathfrak{g})$ no tiene elementos centrales de grado 1, pero podría ser elementos centrales de grado superior. Hay una natural $\mathfrak{g}$-mapa del módulo $$\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}).$$ Now if, say, $\mathfrak{g}$ is semisimple so that it has a nondegenerate Killing form (a bilinear symmetric invariant form), then there are $\mathfrak{g}$-module isomorphisms $$\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \cong \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}^* \cong \text{End}(\mathfrak{g})$$ Clearly $\texto{End}(\mathfrak{g})$ has nonzero central elements, namely scalars, and if you take the corresponding element $\sum e_i \otimes f_i \en \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$ and its image $\sum e_i f_i \en U(\mathfrak{g})$, you get a central element of $U(\mathfrak{g})$ llamado Casimiro elemento.

(No hemos terminado; todavía tenemos que demostrar que el elemento que hemos construido es $\ne 0$. Esto se deduce de la de Poincaré-Birkhoff-Witt teorema.)

Answer 2

No, es más grande en general. Este ya es el caso de $\mathfrak{sl}_2$. Más generalmente, vea isomorfismo de Harish-Chandra.

Answer 3

No, el álgebra envolvente universal puede tener un centro no trivial aunque la álgebra de mentira sí mismo tiene sólo $0$ como centro. Concepto del (o por lo menos un) que desea ver es "elemento de Casimir; véase por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_element .