Aquí es Prob. 12, Cap. 4 en el libro Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ª edición:
Una manera uniforme función continua de una manera uniforme continua de la función es uniformemente continua.
Estado presente de forma más precisa y probarlo.
Aquí está mi esfuerzo:
Teorema:** Vamos $\left(X, d_X\right)$, $\left(Y, d_Y \right)$, y $\left( Z, d_Z \right)$ ser métrica espacios, vamos a $f$ ser un uniforme de asignación continua de $X$ a $Y$, vamos a $g$ ser un uniforme de asignación continua de $f(X)$ a $Z$, y deje $h = g \circ f$. A continuación, $h$ es uniformemente continua en la asignación de $X$ a $Z$.
La prueba:** Que $\varepsilon$ ser un determinado número real tal que $\varepsilon > 0$. Desde $g$ es un unifromly de asignación continua de $f(X)$ a $Z$, podemos encontrar un número real $\eta > 0$ tal que $$\tag{1} d_Z \left( g \left( y_1 \right), g \left( y_2 \right) \right) < \varepsilon$$ for any points $y_1$ and $y_2$ in $f(X)$ for which $$\tag{2} d_Y \left( y_1, y_2 \right) < \eta.$$ Ahora como $f$ es uniformemente continua en la asignación de $X$ a $Y$, por lo tanto, correspondiente al número real $\eta > 0$, en particular, podemos encontrar un número real $\delta > 0$ tal que $$ \tag{3} d_Y \left( f \left(x_1 \right), f \left( x_2 \right) \right) < \eta$$ for any points $x_1$ and $x_2$ in $X$ for which $$ \tag{4} d_X \left( x_1, x_2 \right) < \delta.$$ Por lo tanto, podemos concluir, a partir de (1), (2), (3), (4) por encima de que, por cualquier de los puntos de $x_1$ $x_2$ $X$ que satisfacer $$d_X \left( x_1, x_2 \right) < \delta,$ $ $ $ el siguiente es verdadero. $$ d_Z \left( h \left(x_1 \right), h\left( x_2 \right) \right) = d_Z \left( g\left( f\left( x_1 \right) \right), g\left( f\left( x_2 \right) \right) \right) < \varepsilon, $$ from which it follows that $h = g \circ f$ is a uniformly continuous mapping of $X$ into $Z$.
He logrado obtener la declaración del teorema de derecho? Si es así, entonces es mi prueba correcta?
