Desigualdad de Cauchy-Schwarz sin utilizar $\langle a x,y\rangle=a\langle x,y\rangle$

Question

Que $V$ sea un espacio vectorial y defina una función $\langle .,.\rangle:V\times V\to\mathbb{C}$ tal que

$$\begin{align} & \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle }\,\,\,\forall x,y\in V\\ & \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle \,\,\,\,\,\forall x,y,z\in V\\ & \langle x,x\rangle\ge0\,\,\,\,\,\forall x\in V\,\,\,\text{and equality holds iff}\,\,\,\ x=0\\ \end {Alinee el} $$

¿Hace la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$\color{Green}{|\langle x,y\rangle|^2\le\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle}$$still vallied?
(Sin la condición $\langle a x,y\rangle=a\langle x,y\rangle,\,\,\,\forall a\in\mathbb{C},\,\,\,\forall x,y\in V.$)

¿Si la respuesta es "NO", podemos nosotros demostrarlo?

Answer 1

La respuesta es no en general.

Por ejemplo, con $V = \mathbb{C}$, no es demasiado difícil ver que el "producto interior" con $$ \langle x_1 + iy_1, x_2 + iy_2 \rangle = x_1x_2+y_1y_2+2i(x_1y_2-y_1x_2) $$ satifies todas las otras condiciones, pero tenemos $\langle 1, 1 \rangle = 1 = \langle i, i \rangle$, e $\langle 1, i \rangle = 2i$, por lo que el Cauchy-Schwarz no tiene por $x,y = 1, i$. Y ciertamente se podría cocinar similares de otros ejemplos.

Habiendo $\mathbb{C}$ como el escalar campo es crucial aquí, sin embargo. Con $\mathbb{R}$ como el campo, obtenemos la desigualdad: ya que para cualquier interior "producto" tenemos $\langle 2x, y \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, y \rangle = 2 \langle x, y \rangle$ por inducción $\langle nx, y \rangle = n\langle x, y \rangle$ para cualquier número natural. Es muy fácil de extender a números enteros, y, finalmente, con $$ p\langle x, y \rangle = \langle px, s \rangle = \left\langle q\frac{p}{p}x, y \right\rangle = q\left\langle \frac{p}{p}x, y \right\rangle $$ a los racionales. Ahora un estándar de prueba de las obras: para cualquier racional $t$ hemos $$ 0 \leq \langle x + ty, x + ty \rangle = \langle x, x \rangle + 2 t\Re{\langle x, y \rangle} + t^2\langle y, y \rangle. $$ Dado que la desigualdad se cumple para cualquier racional $t$, lo hace para cualquier real $t$, por lo que para discriminante $D$ tenemos $$ 0 \geq D = (2\Re{\langle x, y \rangle})^2-4\langle x, x \rangle\langle y, y \rangle, $$ así que, finalmente, $$ \langle x, x \rangle\langle y, y \rangle \geq (\Re{\langle x, y \rangle})^2 = |\langle x, y \rangle|^2 $$