¿Hay una manera de cortar a un elipsoide con un plano tal que da un círculo?

Question

Estoy tratando de responder esto

En $\Bbb {R^3} $ considerar el elipsoide: $2x^2+3y^2+4z^2=1$ existe un subespacio de dimensión 2 que cruce con el elipsoide es un círculo. Justificar la respuesta.

Sé que debo buscar un avión ya que estos son los subspaces solamente lineares de $\Bbb {R^3} $ de dimensión 2, pero no sé qué hacer para comprobar si existe un plano de tal. se agradecería mucho cualquier sugerencia. ¡Gracias!

Answer 1

Deje $a,b,c$ 3 números positivos tales que $0 < a < b < c$.

Deje $\mathcal{E}$ $\mathcal{S}$ ser el elipsoide y el ámbito definido por

$$\mathcal{E} = \{ (x,y,z) : ax^2+^2 + cz^2 = 1 \} \quad\text{ y }\quad \mathcal{S} = \{ (x,y,z) : b(x^2+y^2+z^2) = 1 \}$$ Para cualquier punto de $(x,y,z) \in \mathcal{E} \cap \mathcal{S}$, tenemos

$$ax^2 + ^2 + cz^2 = 1 = b(x^2+y^2+z^2) \implica (c-b)z^2 = (b-a)x^2 \iff z = \pm k x $$ donde $k = \sqrt{\frac{b-a}{c-b}}$. El lado derecho es la ecuación de un par de aviones $P_{\pm} = \{ (x,y,z) : z = \pm k x \}$.
Esto implica

$$\mathcal{S} \cap \mathcal{E} \subset \mathcal{P}_{+} \cup \mathcal{P}_{-}$$

Conversar, para cualquier punto de $(x,y,z) \in \mathcal{S} \cap (\mathcal{P}_{+} \cup \mathcal{P}_{-})$, un argumento similar decirnos $ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$.
Esto significa que también ha

$$\mathcal{S} \cap (\mathcal{P}_{+} \cup \mathcal{P}_{-}) \subset \mathcal{E}$$ Combinar estas dos piezas de información, nos

$$\mathcal{S} \cap \mathcal{E} = \mathcal{S} \cap ( \mathcal{P}_{+} \cup \mathcal{P}_{-} ) = ( \mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{+} ) \cup (\mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{-})$$ Desde la intersección de una esfera y un plano es un círculo, nos encontramos con $\mathcal{S} \cap \mathcal{E}$ es la unión de dos círculos $\mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{+}$ $\mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{-}$.

Podemos repetir esencialmente el mismo argumento para otras combinaciones de $\mathcal{S}$, $\mathcal{E}$ y $\mathcal{P}_{\pm}$. Al final, tenemos algo como $$\mathcal{E} \cap \mathcal{P}_{+} = \mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{+} \quad\text{ y }\quad \mathcal{E} \cap \mathcal{P}_{-} = \mathcal{S} \cap \mathcal{P}_{-}$$ Sustituto $(a,b,c)$$(2,3,4)$, podemos encontrar la intersección de el elipsoide $$\{ (x,y,z) : 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 = 1 \}$$ with the two planes $z = \pm x$ are two circles of radius $\frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Answer 2

El problema se vuelve más fácil si vas a ecuaciones paramétricas: $$x=a\cos(u)\cos(v)\\ y=b\cos(u)\sin(v)\\ z=c\pecado(v)$$ usted sabe que la ecuación de un círculo es $x^2+y^2+z^2=r^2$, siendo la $r$ el radio del círculo. Usted sólo tiene que encontrar la $v$ por ejemplo, de tal manera que la ecuación de la circunferencia se tiene: $$r^2=(a^2\cos(v)^2+b^2\sin(v)^2)\cos(u)^2+c^2\sin(u)^2$$ Si desea obtener una constante independiente de $u,v$, usted tiene que $(a^2\cos(v)^2+b^2\sin(v)^2)=c^2$. Si se considera que el $c<b,c$ (si esto no es cierto, usted puede cambiar la configuración de parámetros del elipsoide, y seguir un razonamiento similar), siempre habrá una solución a la ecuación y el radio del círculo se $r=c$. Ahora, si usted tiene la $v$, usted puede volver a su elipsoide parametrizar y reconstruir el avión que lleva a tales círculo (un plano definido por tres puntos).

Esta es sólo una de las infinitas soluciones (ver capítulo de parametrización https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid). Usted puede obtener el resto de la solución tomando planos paralelos a la que se han calculado.