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¿Hay una manera de cortar a un elipsoide con un plano tal que da un círculo?

Estoy tratando de responder esto

En R3 considerar el elipsoide: 2x2+3y2+4z2=1 existe un subespacio de dimensión 2 que cruce con el elipsoide es un círculo. Justificar la respuesta.

Sé que debo buscar un avión ya que estos son los subspaces solamente lineares de R3 de dimensión 2, pero no sé qué hacer para comprobar si existe un plano de tal. se agradecería mucho cualquier sugerencia. ¡Gracias!

3voto

Joe Gauterin Puntos 9526

Deje a,b,c 3 números positivos tales que 0<a<b<c.

Deje E S ser el elipsoide y el ámbito definido por

E={(x,y,z):ax2+2+cz2=1} y S={(x,y,z):b(x2+y2+z2)=1} Para cualquier punto de (x,y,z)ES, tenemos

ax2+2+cz2=1=b(x2+y2+z2)\implica(cb)z2=(ba)x2z=±kx donde k=bacb. El lado derecho es la ecuación de un par de aviones P±={(x,y,z):z=±kx}.
Esto implica

SEP+P

Conversar, para cualquier punto de (x,y,z)S(P+P), un argumento similar decirnos ax2+by2+cz2=1.
Esto significa que también ha

S(P+P)E Combinar estas dos piezas de información, nos

SE=S(P+P)=(SP+)(SP) Desde la intersección de una esfera y un plano es un círculo, nos encontramos con SE es la unión de dos círculos SP+ SP.

Podemos repetir esencialmente el mismo argumento para otras combinaciones de S, E y P±. Al final, tenemos algo como EP+=SP+ y EP=SP Sustituto (a,b,c)(2,3,4), podemos encontrar la intersección de el elipsoide {(x,y,z):2x2+3y2+4z2=1} with the two planes z=±x are two circles of radius 1b=13.

2voto

seoanes Puntos 141

El problema se vuelve más fácil si vas a ecuaciones paramétricas: x=acos(u)cos(v)y=bcos(u)sin(v)z=c\pecado(v) usted sabe que la ecuación de un círculo es x2+y2+z2=r2, siendo la r el radio del círculo. Usted sólo tiene que encontrar la v por ejemplo, de tal manera que la ecuación de la circunferencia se tiene: r2=(a2cos(v)2+b2sin(v)2)cos(u)2+c2sin(u)2 Si desea obtener una constante independiente de u,v, usted tiene que (a2cos(v)2+b2sin(v)2)=c2. Si se considera que el c<b,c (si esto no es cierto, usted puede cambiar la configuración de parámetros del elipsoide, y seguir un razonamiento similar), siempre habrá una solución a la ecuación y el radio del círculo se r=c. Ahora, si usted tiene la v, usted puede volver a su elipsoide parametrizar y reconstruir el avión que lleva a tales círculo (un plano definido por tres puntos).

Esta es sólo una de las infinitas soluciones (ver capítulo de parametrización https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid). Usted puede obtener el resto de la solución tomando planos paralelos a la que se han calculado.

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