Deje a,b,c 3 números positivos tales que 0<a<b<c.
Deje E S ser el elipsoide y el ámbito definido por
E={(x,y,z):ax2+2+cz2=1} y S={(x,y,z):b(x2+y2+z2)=1}
Para cualquier punto de (x,y,z)∈E∩S, tenemos
ax2+2+cz2=1=b(x2+y2+z2)\implica(c−b)z2=(b−a)x2⟺z=±kx
donde k=√b−ac−b. El lado derecho es la ecuación de un par de aviones
P±={(x,y,z):z=±kx}.
Esto implica
S∩E⊂P+∪P−
Conversar, para cualquier punto de (x,y,z)∈S∩(P+∪P−), un argumento similar decirnos ax2+by2+cz2=1.
Esto significa que también ha
S∩(P+∪P−)⊂E
Combinar estas dos piezas de información, nos
S∩E=S∩(P+∪P−)=(S∩P+)∪(S∩P−)
Desde la intersección de una esfera y un plano es un círculo, nos encontramos con
S∩E es la unión de dos círculos
S∩P+ S∩P−.
Podemos repetir esencialmente el mismo argumento para otras combinaciones de S, E y P±. Al final, tenemos algo como
E∩P+=S∩P+ y E∩P−=S∩P−
Sustituto (a,b,c)(2,3,4), podemos encontrar la intersección de
el elipsoide {(x,y,z):2x2+3y2+4z2=1} with the two planes z=±x are two circles of radius 1√b=1√3.