$\sum\limits_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+(n^n-1)\prod \limits_{j=1}^nx_j}} \ge 1$ para todos $x_i>0.$

Question

¿Puede demostrar lo siguiente? nuevo ¿desigualdad? Lo he encontrado experimentalmente.

Demostrar que, para todos los $x_1,x_2,\ldots,x_n>0$ se sostiene que $$\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+(n^n-1)\prod\limits _{j=1}^nx_j}} \ge 1\,.$$

Answer 1

La desigualdad $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+(n^n-1)\prod \limits_{j=1}^nx_j}} \ge 1$ es trivial dada la afirmación de abajo. Por supuesto, la igualdad se produce si y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$ .

Reclamación: Para cada $i=1,2,\ldots,n$ tenemos $\displaystyle\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+\left(n^n-1\right)\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j}} \geq \frac{x_i^{1-\frac{1}{n^n}}}{\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}}$ . La igualdad se mantiene si y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$ .

Prueba: La desigualdad requerida es equivalente a $$\left(\sum_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}\geq \left(n^n-1\right)\,x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}}\,\prod_{j=1}^n\,x_j\,.$$ Obsérvese que la expansión de $\left(\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n$ consiste en $n^n$ términos de la forma $x_{j_1}^{1-\frac{1}{n^n}}x_{j_2}^{1-\frac{1}{n^n}}\cdots x_{j_n}^{1-\frac{1}{n^n}}$ , donde $j_1,j_2,\ldots,j_n\in\{1,2,\ldots,n\}$ . El producto de estos términos es igual a $$\left(\prod\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^{n^n}\,.$$ Si tomamos el término $x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}$ del producto, obtenemos el producto de $n^n-1$ términos de la expansión de $\left(\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}$ , que es entonces igual a $$\frac{\left(\prod\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^{n^n}}{x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}}=x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}\left(n^n-1\right)}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j^{n^n-1}\,.$$ Por la desigualdad AM-GM, $$\frac{\left(\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{1-\frac{1}{n^n}}\right)^n-x_i^{n\left(1-\frac{1}{n^n}\right)}}{n^n-1}\geq \left(x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}\left(n^n-1\right)}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j^{n^n-1}\right)^{\frac{1}{n^n-1}}=x_i^{-\frac{1}{n^{n-1}}}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j\,,$$ que es lo que queremos. Por lo tanto, la afirmación es verdadera. El caso de la igualdad se da, debido a la desigualdad AM-GM, si y sólo si $x_1=x_2=\ldots=x_n$ .

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¿Cómo he conseguido el exponente $1-\frac{1}{n^n}$ ?

Supuse que era $k$ al principio, y la desigualdad deseada era equivalente a $$\left(\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{k}\right)^n-x_i^{nk}\geq \left(n^n-1\right)\,x_i^{n(k-1)}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j\,.$$ Entonces, la última desigualdad decía $$\frac{\left(\sum\limits_{j=1}^n\,x_j^{k}\right)^n-x_i^{nk}}{n^n-1}\geq \left(x_i^{-nk}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j^{n^nk}\right)^{\frac{1}{n^n-1}}\,,$$ cuyo lado derecho quería igualar $x_i^{n(k-1)}\,\prod\limits_{j=1}^n\,x_j$ . Por lo tanto, $\frac{n^nk}{n^n-1}=1$ y $n(k-1)=-\frac{nk}{n^n-1}$ , los cuales me dieron $k=1-\frac{1}{n^n}$ .

Answer 2

Por el Titular $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\sqrt[n]{x_i^n+(n^n-1)\prod\limits_{j=1}^nx_j}}\right)^n\sum_{i=1}^nx_i\left(x_i^n+(n^n-1)\prod\limits_{j=1}^nx_j\right)\geq\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^{n+1}$$ y es suficiente para demostrarlo: $$\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^{n+1}\geq\sum_{i=1}^nx_i^{n+1}+(n^n-1)\prod\limits_{j=1}^nx_j\sum_{i=1}^nx_i,$$ lo que es cierto por Muirhead porque el término $\prod\limits_{j=1}^nx_j\sum\limits_{i=1}^nx_i$ es el más pequeño después de la eliminación de $\sum\limits_{i=1}^nx_i^{n+1}.$