Longitud de la hipotenusa v/s cambio de altura del opuesto

Question

Siempre me ha costado entender los conceptos matemáticos, y tengo una forma muy diferente de pensar en los problemas. Sospecho que se trata de un problema muy sencillo, pero me confunde mucho.

Hice un triángulo rectángulo donde el lado "opuesto" era $10$ y el "lado adyacente" era $60$ . Luego seguí aumentando la altura del lado opuesto en $10$ y medir la longitud de la hipotenusa. Esta tasa de cambio en la longitud de la hipotenusa no es constante y me recuerda a una onda sinusoidal por su aceleración no lineal.

Sin embargo, la tasa de cambio parece volverse lineal a medida que avanza el gráfico.

Sólo quiero tener una intuición por qué la tasa de cambio de la longitud de la hipotenusa no es lineal, y si hay una o varias formas diferentes en las que podría visualizar esto para tener una mejor intuición de lo que está pasando.

Gráfico y triángulo:

Answer 1

Imagina un triángulo rectángulo con el lado opuesto de $x$ que seguirás cambiando. Un lado adyacente $a$ una constante que se dejará en paz y se arreglará. Entonces la longitud de la hipotenusa viene dada por $$\sqrt{x^2 + a}$$

Ahora, como $x$ crece mucho, la constante $a$ se convierte en algo irrelevante. Piensa en añadir $10$ a $20,000,000,000,000$ apenas supondrá una diferencia en los cálculos, por lo que podemos decir que $$\sqrt{x^2 + a} \approx \sqrt{x^2} = x$$ para grandes $x$ . Para los valores más pequeños de $x$ , ese extra $+a$ tendrá un gran impacto en el tamaño de la $x^2 + a$ plazo.

Answer 2

Permítanme probar una intuición ligeramente diferente.

Supongamos que estás en algún lugar al aire libre y ves un león hambriento $60$ metros al oeste de usted y $10$ metros al sur. El león corre más rápido que tú, así que tu única esperanza de sobrevivir es poner la mayor distancia posible entre tú y el león lo más rápido posible antes de que comience a perseguirte, y esperar que un helicóptero llegue y te rescate antes de que el león te atrape.

(Si lo prefiere, sustituya "velociraptor" o "zombi" por "león" en esta respuesta). que veas "león" en esta respuesta).

Al principio de este escenario, tú y el león estáis en los vértices de un triángulo rectángulo cuyo $60$ -de la pierna adyacente al león y cuya $10$ -metro de la pierna es adyacente a usted:

Ahora debería ser bastante evidente a partir de la imagen que mientras se corre hacia el hacia el norte pondrá algo de distancia extra entre tú y el león, no aumenta la distancia tan rápidamente como correr en la dirección etiquetada como "mejor ruta de escape" (en la misma dirección que la hipotenusa del triángulo, ligeramente al norte del este).

Sus cálculos deberían confirmar el hecho de que la distancia al león (la longitud de la hipotenusa) no crece tan rápido como la distancia que has corrido.

Pero supongamos que ya $600$ metros al norte del león, no $10$ , en el momento en que se ven. Esta es la situación en el diagrama siguiente:

La "mejor ruta de escape", que maximizará la distancia que pongas entre tú y el león, sigue estando en la dirección de la hipotenusa, pero ahora esa dirección es casi (aunque no del todo) hacia el norte. Por lo tanto, si por casualidad corres hacia el norte, no conseguirás bastante tan lejos del del león como puedas, pero llegarás lo más lejos posible tan rápido como sea posible.

La estrategia de "correr hacia el norte" es cada vez mejor cuanto más al norte porque la diferencia entre el norte y "directamente lejos del león" es cada vez menor. del león" es cada vez menor. Pero nunca puedes alejarte más rápido que huyendo directamente, así que ese es el límite de la velocidad que la estrategia estrategia de "correr hacia el norte" puede poner distancia entre tú y el león.

En otras palabras, la tasa de cambio de la hipotenusa comienza siendo pequeña, aumenta a medida que se incrementa la longitud del cateto, pero finalmente comienza a acercarse a un valor máximo. Por lo tanto, no puede aumentar linealmente.

Answer 3

Echa un vistazo al teorema de Pitágoras. Resuelve el problema de tu hipotenusa. Además, la ecuación de la longitud de la hipotenusa en función de uno de los otros lados (el que elijas) es de segundo grado. La semejanza con las fórmulas trigonométricas depende (probablemente) del hecho de que varias de esas fórmulas son reescrituras del teorema de Pitágoras, con sen x y cos x para los dos lados más cortos.

Answer 4

Has dibujado una hipérbola. En valores grandes ( x >> 60 ) la pendiente tiende a una constante, a la de su asíntota, por lo que se está convirtiendo en una recta bastante rápida.

Answer 5

Siempre podemos probar un poco de método de los flujos (lo que Newton llamó cálculo ):

Dejando que el lado adyacente tenga la longitud $a$ la longitud del lado opuesto $x$ y la longitud de la hipotenusa $h$ podemos, de acuerdo con el Mayor General Moderno de Gilbert y Sullivan, desplegar uno de sus "muchos hechos alegres sobre el cuadrado de la hipotenusa", a saber el teorema de Pitágoras:

$h^2 = a^2 + x^2; \tag{1}$

entonces, diferenciando con respecto a $x$ ,

$2h\dfrac{dh}{dx} = 2x, \tag{2}$

o

$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{x}{h}; \tag{3}$

ya que, a partir de (1),

$h = \sqrt{a^2 + x^2}, \tag{4}$

(3) se convierte en

$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}; \tag{5}$

y como nosotros, al igual que nuestro amigo el Mayor, estamos "familiarizados con los métodos matemáticos", y "entendemos las ecuaciones tanto las simples como las cuadráticas", podemos hacer un poco de jugueteo algebraico con (5):

$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \dfrac{x}{x \sqrt{(a/x)^2 + 1}}$ $= \dfrac{1}{\sqrt{(a/x)^2 + 1}} \to 1 \tag{6}$

como $x \to \infty$ ya que $a/x \to 0$ . Vemos que la tasa de cambio de $h$ con respecto a $x$ se acerca a $1$ con cada vez más $x$ es decir, $h(x)$ se vuelve más y más lineal cuanto más grande $x$ se obtiene; esto en consonancia con el gráfico de nuestro OP Cggart, cuya pendiente es, en efecto, muy cercana a $1$ incluso para un tamaño moderado $x$ . También se puede observar que (3) puede ser moldeado en la forma

$\dfrac{dh}{dx} = \sin \theta, \tag{7}$

donde $\theta$ es el ángulo entre el lado de longitud $a$ y la hipotenusa; como $x \to \infty$ , $\theta \to \pi/2$ Así que $\sin \theta \to 1$ consistente con lo que hemos visto hasta ahora. Y (7) también nos permite ver el comportamiento tipo seno cerca de $x = 0$ como ha observado Cggart.

Dicho esto, debo salir corriendo a una reunión con el Mayor, que me ha telegrafiado que "sobre el teorema del binomio está repleto de noticias".

Gracias a Gilbert, Sullivan, Pitágoras, el Mayor y, por último, pero no menos importante, Sir Isaac.