Múltiplos de $999...9$ de generalizar usando dígitos $(0,1,2)$

Question

El más pequeño $n$ tal que $9n$ utiliza sólo lo tres dígitos $(0,1,2)$ $1358$, dando un producto $12222$. Esto es $99n$ $11335578$, que $1122222222$. Del mismo modo,

$999(111333555778)=111222222222222,$

$9999(1111333355557778) = 11112222222222222222, ...$

El producto parece ser $k$seguido de #% de 1 $4k$2 $k$ dígitos $999...9$. $n$, Esto parece ser $1..3...5...7...8$, con $1, 3, 5$ % tiempos de $k$y $7$ $k-1$ o $0$ veces. ¿Este patrón puede ser probado y extendido para cualquier $k$?

Answer 1

Creo que esto ayuda a:

$9n$ es un múltiplo de a$9$, por lo que su suma de los dígitos $\equiv0 \mod 9$

Considere la posibilidad de :

• número de $1$s en $9n$ $x$
• número de $2$s en $9n$ $y$
• número de $0$s en $9n$ $z$

$$x + 2 y + 0z \equiv 0 \mod 9$$

Resolver esto, cuando el número de dígitos $(x + y + z)$ es mínimo (esto significa que cuando la $9n$ es mínimo)

Esto sucede cuando el $z = 0$

Solucionar $x + 2 y \equiv 0 \mod 9$

Al $x + y$ es mínimo

Esto sucede cuando $y = 4x$

Si encuentras $x$$y$, mínimo de $9n$ es en la forma $111111...2222...$

$1$ aparece $x$ veces y $2$ $y$ veces en el número de

Sólo tiene que mostrar :

$99... (9 \text{ appears } x \text{ times} ) \times 11...33...555..77..8 (1 , 3 , 5~x \text{ times}, 8)$
es igual a $11...222... ( 1 : x \text{ times},~2 : 4x \text{ times} )$

Answer 2

Vamos a definir para $k\geq 1$ los números de $a_k$ $b_k$ con

\begin{align*} a_k&=\underbrace{111\ldots 1}_{k}\,\underbrace{333\ldots 3}_{k}\,\underbrace{555\ldots 5}_{k}\,\underbrace{777\ldots 7}_{k}+1\\ b_k&=\underbrace{111\ldots 1}_{k}\,\underbrace{222\ldots 2}_{4k} \end{align*}

Desde $\underbrace{999\ldots9}_{k}=10^{k-1}-1$, OPs pregunta puede ser establecido como

\begin{align*} (10^{k-1}-1)a_k=b_k\qquad\qquad k\geq 1 \end{align*}

Reclamamos el siguiente es válido

\begin{align*} (10^{k-1}-1)a_k=b_k=\frac{1}{9}\left(10^{5k}+10^{4k}-2\right)\qquad\qquad k\geq 1 \end{align*}

Para su conveniencia únicamente nos muestran la prueba para el caso especial $k=4$ a partir de la cual el general de la prueba se pueden deducir con facilidad.

Observe que podemos escribir $1111=1\cdot\frac{10^4-1}{9}, 3333=3\cdot\frac{10^4-1}{9},\ldots$.

Obtenemos

\begin{align*} a_4&=1111333355557778\\ &=1111\cdot10^{12}+3333\cdot10^8+5555\cdot10^4+7777\cdot10^0+1\\ &=1\cdot\frac{10^4-1}{9}10^{12}+3\cdot\frac{10^4-1}{9}10^{8}+5\cdot\frac{10^4-1}{9}10^{4}+7\cdot\frac{10^4-1}{9}10^{0}+1\\ &=\frac{10^4-1}{9}\left(1\cdot10^{12}+3\cdot10^{8}+5\cdot10^{4}+7\cdot10^{0}\right)+1\\ &=\frac{10^4-1}{9}\left((8-7)\cdot10^{12}+(8-5)\cdot10^{8}+(8-3)\cdot10^{4}+(8-1)\cdot10^{0}\right)+1\\ &=\frac{10^4-1}{9}\sum_{j=0}^3\left[8-(2j+1)\right]10^{4j}+1\\ &=\frac{10^4-1}{9}\sum_{j=0}^3(7-2j)10^{4j}+1\\ &=\frac{10^4-1}{9}\left[7\sum_{j=0}^310^{4j}-2\sum_{j=0}^3j10^{4j}\right]+1\tag{1} \end{align*}

Intermezzo: serie geométrica Finita

Con el fin de simplificar (1) consideramos más general, $x$ en lugar de $10^k$ y obtenga $k\geq 1$

\begin{align*} \sum_{j=0}^{k-1}x^j&=\frac{x^k-1}{x-1}\\ \sum_{j=0}^{k-1}jx^j&=\sum_{j=1}^{k-1}jx^j=x\sum_{j=1}^{k-1}{jx^{j-1}}=x\frac{d}{dx}\sum_{j=1}^{k-1}x^j\\ &=x\frac{d}{dx}\left(\frac{x^k-1}{x-1}-1\right)\\ &=\frac{kx^k}{x-1}-x\frac{x^{k}-1}{(x-1)^2} \end{align*}

Con estas fórmulas nos puede continuar (1) y observar

\begin{align*} a_4&=\frac{10^4-1}{9}\left[7\frac{10^{16}-1}{10^4-1}-2\left(\frac{4\cdot10^{16}}{10^4-1}-10^4\frac{10^{16}-1}{(10^4-1)^2}\right)\right]+1\\ &=\ldots\\ &=\frac{1}{9}\cdot\frac{10^{20}+10^{16}-2}{10^4-1} \end{align*}

Tenemos que multiplicar $a_4$ $9999$ y la conclusión de

\begin{align*} 9999a_4&=(10^4-1)\frac{1}{9}\cdot\frac{10^{20}+10^{16}-2}{10^4-1}\\ &=\frac{1}{9}(10^{20}+10^{16}-2) \end{align*}

lo que demuestra la primera mitad de la demanda por la $k=4$ .

Con las mismas técnicas que el cálculo de $b_k$ es aún más simple:

\begin{align*} b_4&=1111\underbrace{2222\ldots2222}_{16}\\ &=1111\cdot 10^{16}+2222\cdot 10^{12}++2222\cdot 10^{8}+ +2222\cdot 10^{4}++2222\cdot 10^{0}\\ &=\frac{10^4-1}{9}\left(1\cdot10^{16}+2\cdot10^{12}+2\cdot10^8+2\cdot10^4+2\cdot10^0\right)\\ &=\frac{1}{9}10^{16}(10^4-1)+\frac{2}{9}(10^4-1)\sum_{j=0}^310^{4j}\\ &=\frac{1}{9}10^{16}(10^4-1)+\frac{2}{9}(10^4-1)\frac{10^{16}-1}{10^4-1}\\ &=\frac{1}{9}\left(10^{20}+10^{16}-2\right) \end{align*}

que es la segunda parte de la solicitud de $k=4$.

Answer 3

Es fácil verificar que $$\tag1(10^k-1)\cdot\frac{10^{4k}+2\cdot 10^{3k}+2\cdot 10^{2k}+2\cdot 10^k+2}{9} =\frac{10^{5k}-1}9+\frac{10^{4k}-1}{9}$$ y que las dos fracciones son, de hecho, los números enteros y el número de la derecha, siendo la suma de dos repunits, está escrito con la $1$ $2$ solamente.

Sigue siendo para mostrar que los números de la $(1)$ son mínimos. Tenga en cuenta que $(10^k-1)n=10^kn-n$ es la diferencia de dos números de diferente longitud, por lo que el $10^kn$ (así como de $n$) debe iniciar con al menos $k-1$ dígitos $\in\{0,1,2\}$ e las $k$th dígitos $\in\{0,1,2,3\}$; en realidad, una $3$ $k$th dígitos sólo es posible si es seguido por un dígito $\le 2$ ya que de lo contrario no carray (o más bien: borrow) orccurs. También, $(10^k-1)n\equiv -n\pmod{10^k}$, de modo que la última $k$ dígitos de $n-1$ debe $\in\{7,8,9\}$. Tenga en cuenta que $$\left\lfloor\frac{(10^k-1)n}{10^k}\right\rfloor=n-\left\lceil\frac{n}{10^k} \right\rceil=(n-1)-\left\lfloor\frac{n}{10^k} \right\rfloor$$ así que llegamos a la conclusión acerca de la próxima $k$ dígitos: Le resta algo de dígitos $7,8,9$ y obtener dígitos $0,1,2$; esto sólo es posible si no pedir prestado se produce, por lo tanto la próxima $k$ dígitos de $n-1$$\in\{5,6,7,8,9\}$. Repitiendo el argumento, la próxima $k$ dígitos de $n-1$$\{3,4,5,6,7,8,9\}$. Por lo tanto, $n$ tiene más de $4k$ dígitos, o $n-1$ es descrito por la expresión regular [12][012]{k-1}[3-9]{k}[5-9]{k}[7-9]{k}. Podemos excluir el caso de más de $4k$ dígitos como $(1)$ ya supera eso. Así que nos queda el segundo caso que también puede ser formulado como: $$ n=\alpha\cdot 4^{3k}+\beta\cdot10^{2k}+\gamma\cdot 10^k+\delta+1$$ donde $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ $k$- número de dígitos con los dígitos $\in\{0,1,2\}$, $\in\{3,\ldots,9\}$, $\in\{5,\ldots,9\}$, $\in\{7,\ldots,9\}$, respectivamente. Entonces $$(10^k-1)n=\alpha\cdot 10^{4k}+(\beta-\alpha)\cdot 10^{3k}+(\gamma-\beta)\cdot 10^{2k} +(\delta-\gamma)\cdot10^k+(10^k-1-\delta)$$ Una se indicó anteriormente, las sustracciones $\delta-\gamma,\gamma-\beta,\beta-\alpha$ no implican toma prestado. Por lo tanto, cualquier cero ocurren en $\alpha$ produciría un dígito $\ge 3$ $\beta-\alpha$ y, por tanto, también en $(10^k-1)n$. Llegamos a la conclusión de que $\alpha$ no contiene ceros. Pero, a continuación,$\alpha \ge 11\ldots 1$, $\beta\ge 33\ldots 3$, $\gamma\ge 55\ldots 5$, $\delta\ge 77\ldots 7$ y en última instancia, la solución de $(1)$ es en efecto la mínima solución.