Pregunta de álgebra de matemáticas GRE

Question

Acabo de comenzar el aprendizaje del álgebra, y me encontré con una pregunta de una práctica GRE que yo no podía resolver. http://www.wmich.edu/mathclub/files/GR8767.pdf #49

El grupo finito $G$ tiene un subgrupo $H$ de la orden de 7 y ningún elemento de $G$ más que la identidad es su propia inversa. ¿Qué podría el orden de $G$?
Edit: Esto es una mala interpretación del problema. El problema que tiene la intención de que ningún elemento de G es su propia inversa.

a) 27
b) 28
c) 35
d) 37
e) 42

Ya he eliminado a) y d), debido a LaGrange del teorema.

Answer 1

La orden de un subgrupo siempre divide la orden de un grupo. Usted puede descartar inmediatamente un) y d). No estamos autorizados a tener elementos de orden 2, pero nos gustaría que si el grupo era de orden incluso. Por lo tanto, c).

Answer 2

Ya que ningún elemento es su propio inverso (aparte de la identidad), entonces cada elemento $a$ (que no sea el elemento que es la identidad) debe existir un elemento $b$ tal que $a^{-1}=b$. Casi podría pensar de estos elementos ha venido en pares. Si ignoramos la identidad, entonces $|G|-1$ tiene que ser incluso... que elimina cada otra opción excepto (c).

Answer 3

Desde $\rm a=a^{-1}\iff a^2=1$, puede utilizar el teorema de Cauchy para eliminar incluso las órdenes.

Answer 4

Sugerencia: Usted quiere asegurarse de que no hay ningún elemento de orden $2$.