Contraejemplo a "una bola de cerrados en M es un subconjunto cerrado".

Question

Estoy estudiando la topología, por mi cuenta, con un texto que encontré en línea. Actualmente estoy revisando las "Métricas" de la sección que me recuerda el verdadero curso de análisis tomé hace más de 10 años.

El texto me piden para "mostrar" lo siguiente:

Supongamos que M es un espacio métrico. Demostrar que una bola abierta en el M es un subconjunto abierto y cerrado de la pelota en el M es un subconjunto cerrado.

Tengo lo que creo que es un contraejemplo a la segunda parte. En primer lugar, permítanme estado de las definiciones como están escritas en el libro que estoy utilizando:

Para cualquier $x \in M$ $r>0$ el (abierto) de la bola de radio r alrededor de x es el conjunto

$$ B_r(x)=\{y \in M: d(x,y)<r \}, $$
y la bola cerrada de radio r alrededor de x es $$ \overline B_r(x)=\{y \in M: d(x,y) \leq r \}, $$

Un subconjunto $A \subseteq M $ se dice que es un subconjunto abierto de M si contiene un abierto pelota alrededor de cada uno de sus puntos.

Un subconjunto $A \subseteq M $ se dice que es un subconjunto cerrado de M si M\a es abierto.

Yo creo que el siguiente es un contraejemplo a esta:

Vamos $$M = [1,10].$$ Now $ \overline B_1(5)=\{y \in M: d(5,y) \leq 1 \} $ is a closed ball. More simply put, $ \overline B_1(5)=[4,6] $. Lets call the closed ball $Un$.
$$ A=\overline B_1(5)=[4,6]$$ Claramente, $A \subseteq M $, e $ M-A = [1,4) \cup (6,10] $. Sin embargo $M-A$ no está abierto debido a $\{1\}$ $\{10\}$ no han abierto las bolas alrededor de ellos sin ir más allá de M.

Hay un error en el texto, o un error en mi razonamiento?

Answer 1

Su intuición es buena en ese $[1,4)$ $(6,10]$ no están abiertos en $\mathbb R$. Sin embargo, ellos están abiertos en $M=[1,10]$ - es decir, la apertura es una propiedad relativa a la métrica del espacio. De hecho, considerar la definición de una bola abierta de radio $3$$1$$M$: $$B_3(1)=\{y\in M:|y-1|<3\}$$ la condición de $y\in M$ significa que $y$ debe ser en $[1,10]$ y la condición de $|y-1|<3$ implica que el $y$ no puede ser $4$ o más - así pues,$B_3(1)=[1,4)$.

Esencialmente, cuando estamos trabajando en un subespacio de un espacio métrico, podemos "cortar" open series como esta. Es decir, tenemos que $(-2,4)$ que era un balón, y cuando estamos en el espacio métrico en $[1,10]$ tomamos su intersección para obtener $[1,4)$ se abrirá en el subespacio. Softonic no tiene que preocuparse acerca de la exclusión de los puntos que no están en el espacio.

Answer 2

El % de espacio $M = [1,10]$vive en su propia y no sabe nada sobre los números tales como $0$ y $11$.

Por definición, $$B_2(1) = \{y\in M \mid d(1,y)<2\} = [1,2)\subset M\backslash A\text{,}$ $ por lo tanto, $A$ está cerrado, de hecho.

Answer 3

$$[1,2)=\{y\in M\mid d(1,y)<1\}$$ is an open ball in $M$ centered at $1$.

$$(9,10]=\{y\in M\mid d(10,y)<1\}$$ is an open ball in $M$ centered at $10$.

Evidentemente, estos conjuntos son subconjuntos de $M-A$.

Los conjuntos no están abiertos en $\mathbb R$, pero que no es solicitado.

Se dan cuenta que por ejemplo, que $[1,2)=(0,2)\cap M$ $(0,2)$ Dónde está abierto ubicado en $\mathbb R$.

Que permite la conclusión que el % es en $[1,2)$ $M$con respecto a la subtopology $M$ heredado de $\mathbb R$.

Answer 4

Además de lo que aquí todo el mundo ha contestado, tenga en cuenta que $\bar B_r(x) = d(x,\cdot )^{-1} ([0,r])$ y $[0,r]$ está cerrado en $\Bbb R$ y $d(x, \cdot )$ es continua (esto es para ser probado), y $\bar B_r(x)$ siempre está cerrado.

Answer 5

Claramente, $A \subseteq M $ y $ M-A = [1,4) \cup (6,10] $. Sin embargo no está abierto $M-A$

Esto es incorrecto. es claramente abierto como la Unión de dos bolas abiertas, $M-A$$[1,4)$ y $(6,10]$. Tenga en cuenta que $[1,4) = B_3(1)$ y $(6,10] = B_4(10)$. Si no me crees, escriba la expresión de conjunto generador para las bolas (incluyendo la parte que dice $y\in M$, recordando que $M=[1,10]$).