Las funciones de $f:S\to T$ $g:T\to S$ inducir funciones en el poder conjuntos de $S$$T$. Es decir, podemos considerar los mapas $F:\mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(T)$ $G:\mathcal{P}(T)\to\mathcal{P}(S)$ definido por $F(A)=f(A)$$G(B)=g(B)$.
Para cualquier conjunto a $Z$, el poder establecer $\mathcal{P}(Z)$ es un completo entramado, con el orden parcial se contención (es decir, dado $X,Y\in\mathcal{P}(Z)$, podemos decir que el $X\leq Y$ al $X\subseteq Y$), y el unirse y reunirse ser de la unión y la intersección, respectivamente.
Las funciones de $F$ $G$ son claramente orden de preservación, porque para cualquier $X,Y\in\mathcal{P}(S)$ si $X\leq Y$ ( $X\subseteq Y$ ), a continuación, $F(X)\leq F(Y)$ ( $f(X)\subseteq f(Y)$ ), y de manera similar para $G$.
Para cualquier conjunto a $Z$, la función de $C_Z:\mathcal{P}(Z)\to\mathcal{P}(Z)$ que envía un subconjunto de a $Z$ a su complemento, es decir, la función definida por $C_Z(X)=Z\setminus X$, es el fin de inversión.
La combinación de estas observaciones, se tiene que la función de $H:\mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(S)$, que se define como la composición de
$$\mathcal{P}(S)\xrightarrow{\;\; F\;\;}\mathcal{P}(T)\xrightarrow{\;\;C_T\;\;}\mathcal{P}(T)\xrightarrow{\;\;G\;\;} \mathcal{P}(S)\xrightarrow{\;\;C_S\;\;}\mathcal{P}(S)$$
es una orden-preservar el mapa de una completa red para sí mismo.
El paso clave, sugerido por Asaf Karagila, es ahora de aplicar la Knaster-teorema de Tarski, lo que implica que $H$ tiene un punto fijo. Por lo tanto, hay algo de $A\in\mathcal{P}(S)$ tal que
$$A=H(A)=S\setminus G(T\setminus F(A)).$$
Por lo tanto, dejando $B=F(A)$,$f(A)=B$$g(T\setminus B)=S\setminus A$.
