Una integral impropia con el parámetro $\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}$

Question

Tengo que analizar la convergencia de esta integral:

$$\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}$$ where $p\in \mathbb{R}$.

He pensado en escribir:

$$\int_{1}^{c}\frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}+\int_{c}^{+\infty}\frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}$$

Para la segunda integral, sé que $\frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}<\frac{(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}$ por lo que se puede estudiar en el segundo:

si p>0:

$1+x^p\sim x^p$, $\sqrt{x^2-1}\sim x$, así que obtener: $\frac{(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}\sim \frac{1}{x^{1-p}}$ que converge si p<0. Pero me han dicho que p debe ser >0, por tanto no puedo obtener soluciones.

Si p<0 la intergral de la función que utilizo para compararlo con el mío, diverge. Así, por el teorema de comparación asintótica, mis integral diverge.

Pero no sé cómo llevar a cabo algo acerca de la primera integral....

Answer 1

Suponga $p \in \mathbb{R}$. Vamos a considerar tres casos.

• $\color{blue}{\text{Case 1.}}$ $\quad p> 0.$

  Tenemos, como $x \to +\infty$,

$$ \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} \sim p\frac{\ln x}{x} $$

y el inicial de la integral es divergente, por comparación a la divergentes integral de la $\displaystyle \int_b^{\infty} \frac{\ln x}{x} dx \quad (b>0).$

• $\color{blue}{\text{Case 2.}}$ $\quad p=0.$

  Tenemos, como $x \to +\infty$,

$$ \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{\ln 2}{x} $$

y el inicial de la integral es divergente, por comparación a la divergentes integral de la $\displaystyle \int_b^{\infty} \frac{1}{x} dx \quad (b>0).$

• $\color{blue}{\text{Case 3.}}$ $\quad p<0.$

  Tenemos, como $x \to +\infty$,

$$ \ln(1+x^p) \sim \frac1{x^{|p|}} $$ $$ \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac1{x^{|p|+1}} $$

y $\displaystyle \int_b^{\infty} \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} dx \quad (b>0)$ es convergente en comparación a los convergentes integral de la $\displaystyle \int_b^{\infty} \frac1{x^{|p|+1}} dx.$

Tenemos, como $x \to 1^+$,

$$ \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} \sim \frac{\ln 2}{\sqrt{2} }\frac{1}{\sqrt{x-1}} $$

y $\displaystyle \int_1^{a} \frac{\ln(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}} dx \quad (a \to 1^+)$ es convergente en comparación a los convergentes integral de la $\displaystyle \int_1^{a} \frac{1}{\sqrt{x-1}} dx.$

Así, su primera integral es convergente si y sólo si $p<0$.

Answer 2

Para cualquier $p\ge 0$, tenemos

$$\frac{\log(1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}\ge \frac{\log 2}{x}.$$

Por lo tanto, la integral diverge para $p\ge 0$.

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Para $p<0$, podemos escribir $\log(1+x^p)=\log(1+x^{-|p|})=\log \left(\frac{x^{|p|}+1}{x^{|p|}}\right)=\log(1+x^{|p|})-\log(x^{|p|})$. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \left|\frac{\log (1+x^p)}{\sqrt{x^2-1}}\right|&=\frac{\log(1+x^{|p|})-\log(x^{|p|})}{\sqrt{x^2-1}}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\int_{x^{|p|}}^{1+x^{|p|}}\frac{dt}{t}\\\\ &\le \frac{2}{x^{|p|+1}} \end{align}$$

para $x>2\sqrt{3}/3$. Podemos ver esto desde $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^{-2}}}\le \frac1x \times 2$$x>2\sqrt{3}/3$.

Por lo tanto la integral converge para todos los $p<0$.

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NOTA:

La singularidad en $x=1$ es de orden $(1-x)^{-1/2}$, y no compromete el análisis ya mencionado.

Answer 3

Consejo: mirar el comportamiento del % grande $x$, en la mira los casos $p \geq 0, p<0$.