Cómo probar parte de suprayectividad de lema cinco cortos de secuencias exactas cortas.

Question

Supongamos que tenemos un homomorfismo $\alpha, \beta, \gamma$ de poco exacto de secuencias: $$\begin{matrix} 0 & \to & A & \xrightarrow{\psi} & B & \xrightarrow{\phi} & C & \to & 0 \\ \ & \ & \downarrow^{\alpha} & \ & \downarrow^{\beta} \ & \ & \downarrow^{\gamma} \\ 0 & \to & A' & \xrightarrow{\psi'} & B' & \xrightarrow{\phi'} & C' & \to & 0 \end{matriz}$$

Si ambos $\alpha, \gamma$ es sobreyectiva entonces así es $\beta$. Esto puede demostrarse mediante las propiedades del diagrama de alguna manera.

He probado varias cosas.

Answer 1

Debe ser sencillo.

Queremos demostrar a $\beta$ es surjective, así comienzan a partir de un elemento arbitrario $b'\in B'$. Podemos hacer una cosa: considere el $c':=\phi'(b')\in C'$.
Desde $\gamma$ es surjective, obtenemos $c$$\gamma(c)=c'$.

Que a la par $\phi,0$ de los mapas es exacta significa nada pero que $\phi$ es surjective. El resultado es un elemento $b\in B$, de tal manera que $\gamma\phi(b)=c'=\phi'(b')$.

Ahora nos podría no obtener $\beta(b)=b'$ con este elemento $b$, sin embargo, tenemos que $\beta(b)$ $b'$ tiene la misma imagen en $\phi'$, así que por la exactitud, esto da $a'\in A'$ tal que $\psi'(a')=b' - \beta(b)$.

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Gracias a Berci y Pedro Tamaroff.

Que $b' \in B'$. Entonces $\phi'(b') = c' \in C'$ y por suprayectividad de $\gamma$, $c \in C$ $\gamma(c) = \phi'(b')$ y hay $b \in B$ $\phi(b) = c$. Así $\gamma\phi(b) = \phi'(b') = \phi'(\beta(b))$. Así $\beta(b) - b' \in \ker \phi' = \psi'(A') = \psi' \alpha(A)$. Por lo que $a \in A$ así que $\psi'\alpha(a) = \beta(b) - b' = \beta \psi(a)$. Entonces claramente $b'$ puede ser escrito como la imagen del elemento $b - \psi(a)$ en $\beta$. Hemos terminado.