Mostrar que$\mathbb{Z}_{10}$ es generado por 2 y 5.

Question

En el libroDe Álgebra Abstracta' por Pinter la siguiente pregunta es:

Mostrar que $\mathbb{Z}_{10}$ es generado por $2$ $5.\,$

Aquí, $,\mathbb{Z}_{10}\,$ se define como el grupo de residuos, mod $10$, con el grupo de operación de suma (mod $10$) como de costumbre.

Ahora creo que entiendo por qué esto es cierto y probablemente hay muchas formas de demostrar.

Lo primero que me tenga en cuenta que: $$2+2+2+5 \mod 10 \equiv 1$$ Ahora $1$ es un generador de $\mathbb{Z}_{10}$ debido a que todos los elementos en $\mathbb{Z}_{10}$ alcanzado por varias repeticiones del grupo operador en $1.$ Ahora mi pregunta es, es esto suficiente para demostrar la declaración?

Además, es lo suficientemente rigurosas o hay una mejor manera de mostrar los resultados deseados? Muchas gracias de antemano :)

Answer 1

Sí, de hecho, su prueba es totalmente suficiente, y al mostrar que$2, 5$ "generar un generador" del grupo, ya está.

También puede observar simplemente que$2 + 5 = 7 = 7\cdot 1$, y como$\gcd(7, 10) = 1$, sabemos que$7$ genera$\mathbb Z_{10}$. Dado que$2, 5$ generate$7$, que genera$\mathbb Z_{10}$, se sigue que$\mathbb Z_{10}$ es generado por$2, 5$.

Answer 2

Sí, de hecho! Bien hecho. ${}$

Answer 3

Sí. En general para muchos tipos de estructuras, si $G$ es un set de generación de energía para una estructura $S$ (en su ejemplo,$G=\{1\}$$S=\Bbb Z/10\Bbb Z$), a continuación, con el fin de mostrar que la $F$ genera $S$, es suficiente para mostrar que cada elemento de a $G$ puede ser expresado en términos de $F$. El punto es que uno puede expresar $s\in S$ en términos de elementos de $G$, y, a continuación, sustituir sus expresiones en términos de$~F$ de los elementos. Para casi cualquier noción de "expresión", la sustitución produce (algo equivalente a) una expresión válida.

La condición de que cada elemento de a $G$ puede ser expresado en términos de $F$ es también necesario, ya que $G\subseteq S$.