Teorema de divergencia en coordenadas complejas

Question

Esta pregunta está relacionada con el teorema de Stokes en coordenadas complejas (CFT) pero, todavía no entiendo :(

A saber, cómo probar el teorema de la divergencia en la coordenada compleja en la ecuación (2.1.9) en la teoría de cuerdas de Polchinski$$\int_R d^2 z (\partial_z v^z + \partial_{\bar{z}} v^{\bar{z}})= i \oint_{\partial R} (v^z d \bar{z} - v^{\bar{z}} dz ) (1) $ $

Puedo probar

$$ \int_R dx dy ( \partial_x F_y - \partial_y F_x) = \oint_{\partial R} (F_x dx + F_y dy)(2) $ $, Pero qué tipo de sustitución debo utilizar para obtener la ec. (1)?

Answer 1

Sea$\sigma^1$ y$\sigma^2$ coordenadas reales en$\mathbb R^2$. Usando los resultados en la página 33, encontramos que \begin{align} \partial_zv^z &= \frac{1}{2}(\partial_1 -i\partial_2)(v^1 + iv^2) = \frac{1}{2}(\partial_1v^1 + i\partial_1v^2 - i\partial_2v^1 + \partial_2v^2) \\ \partial_{\bar z}v^{\bar z} &= \frac{1}{2}(\partial_1 +i\partial_2)(v^1 - iv^2) = \frac{1}{2}(\partial_1v^1 - i\partial_1v^2 + i\partial_2v^1 + \partial_2v^2) \end {align} y por lo tanto usando$d^2z = dz\,d\bar z = 2 d\sigma^1d\sigma^2$ \begin{align} \int_R d^2z\,(\partial_zv^z + \partial_{\bar z}v^{\bar z}) &= 2\int_R d\sigma^1\,d\sigma^2\,(\partial_1v^1 + \partial_2v^2) \end {align} de manera similar, para el lado derecho tenemos - # - } Para que \begin{align} v^zd\bar z &= (v^1 + iv^2)(d\sigma^1 - id\sigma^2) = v^1d\sigma^1 - iv^1d\sigma^2 + iv^2d\sigma^1 +v^2d\sigma^2 \\ v^{\bar z}dz &= (v^1 - iv^2)(d\sigma^1 + id\sigma^2) = v^1d\sigma^1 + iv^1d\sigma^2 + -iv^2d\sigma^1 +v^2d\sigma^2 \end {align} La identidad en Polchinski se obtiene colocando los lados izquierdo y derecho iguales entre sí lo que, en este caso, da \begin{align} i\oint_{\partial R} v^z d\bar z - v^{\bar z} d z &= i\oint_{\partial R} 2i(v^2d\sigma^1 - v^1 d\sigma^2) = 2\oint_{\partial R} (v^1 d\sigma^2 -v^2d\sigma^1) \end {align} que es precisamente el teorema de Stokes Para una región en$\mathbb R^2$.