El título lo resume todo: ¿existe una "buena" inyectiva función de $f(n)$ tal que $f(n)\in\mathbb P$ todos los $n\in\mathbb N$?
Estoy teniendo dificultad para especificar exactamente lo que quiero "bonito", que significa, y que tal vez los encuestados me puede ayudar a cristalizar esta idea. Básicamente, quiero eliminar la no-constructiva de las funciones, es decir,
$$\mathbb P\subseteq\omega\Rightarrow\mathbb P\mbox{ is well-ordered}\Rightarrow(\exists f)[f(\mathbb N)=\mathbb P\wedge (x<y\to f(x)<f(y))]$$
y funciones que implican el cálculo de todos los números anteriores, es decir,
$$f(1)=2\wedge f(n)=\min\{f(n-1)<m\leq n!+1:(\forall r,s<m)[rs\neq m]\}.$$
Ahora ambas funciones construir bijections de$\mathbb N$$\mathbb P$, y la segunda es incluso computable en un tiempo finito para cualquier $n$, pero claramente no son "útiles", ya que sólo tienes que repetir las definiciones. Tal vez "computable" o "primitivas recursivas" hará el truco para esta definición, pero no estoy seguro. Sé que hay varias funciones que se usan para este fin, por ejemplo, $f(n)=2^{2^n}+1$ (de los números primos de Fermat) y $f(n)=2^n-1$ (primos Mersenne), pero ninguno de ellos produce primos exclusivamente. Hay funciones que hacer? Tal vez una definición operativa es que el cálculo de $f(n)$$O(1)$, suponiendo que $+$, $\cdot$, y exponenciación se $O(1)$ a calcular. (Mi segunda descripción de la función es $O(n!^3)$, creo que, debido a la triple cuantificación.)
(Otra posible relajación de las restricciones: ¿existe una función tal que $d(\{n:f(n)\notin\mathbb P\})=0$, es decir , finalmente, casi todos de los valores de la función son los números primos? Aquí $d(A)$ es la densidad del conjunto.) Edit: que originalmente se había aquí $|f(\mathbb N)-\mathbb P|<\infty$ a representar este concepto, pero, dada una función, se puede modificar fácilmente para producir una función tal que $f(\mathbb N)\subseteq\mathbb P$, por sólo cambiando el "malo" de los valores.