Soluciones a $x+y+z-2 = (x-y)(y-z)(z-x)$

Question

Demuestre que la ecuación $$x+y+z-2 = (x-y)(y-z)(z-x)$$ tiene infinitas soluciones $(x,y,z)$ con $x, y,z$ enteros distintos.

En mi intento de resolver el problema sólo encontré soluciones de forma $x=y, z=2-2x$ .

¿Hay soluciones como exige la declaración?

Answer 1

Tu solución no cumple los requisitos del problema porque $x=y$ .

Podemos intentar la siguiente parametrización obvia: $x=a$ , $y=a+1$ . Simplificando la ecuación original con esta información añadida se obtiene: $$ 2a+z-1=-(a+1-z)(z-a) $$ que se puede resolver para dar: $$ z=1-\sqrt{3a}+a\quad\text{or}\quad z=1+\sqrt{3a}+a. $$ Claramente, $a,a+1,a+1+\sqrt{3a}$ son distintos para $a$ . Así pues, queda por seleccionar $a$ de la forma $a=3m^2$ , $m\in\mathbb{N}$ , $m\geq 1$ , lo que da: $$ x=3m^2,\quad y=3m^2+1,\quad z=3m^2+1+3m,\quad m\in\mathbb{N}, m\geq 1. $$

Answer 2

Establecer $x=y+a$ y $z=y-b$ . La ecuación pasa a ser $$ 3y+a-b-2 = -ab(a+b) $$ que se simplifica en $$ 3y-2 = -a^2b - ab^2 - a + b $$ Si fijamos $a=2$ entonces cada $b$ que sea múltiplo de $3$ conducirá a una solución para $y$ .

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En general, una integral $y$ es posible exactamente cuando $a+1\equiv b\pmod 3$ o $a\equiv b\equiv 1\pmod 3$ como puede verse resolviendo $$ a-b-2 \equiv -ab(a+b) \pmod 3 $$ por fuerza bruta, probando cada una de las 9 posibilidades.

Esto produce cada solución integral.

Answer 3

La ecuación $$x+y+z-2=(x-y)(y-z)(z-x)\qquad (*)$$ con tres incógnitas, tiene en general infinitas soluciones. Hay muchas formas de obtener una familia de soluciones ( ¡una incompleta! ).

Fíjese, por ejemplo, en una familia concreta de soluciones.

$$(*)\Rightarrow \frac{x+y+z-2}{x-y}=(y-z)(z-x)\quad (**)$$ se permite cualquier forma de lograr que el LHS en $(**)$ es un número entero; en particular $x-y=1$ . Esto transforma $(**)$ en $$(y-z)^2+3y-1=0$$ Hacer ahora $y-z=t$ se obtiene $$\begin{cases}y-z=t\\1-3y=t^2\\z=y-t\\x=\frac{1-t^2}{3}+1\end{cases}$$

Elegimos ahora $t=3s+1$ y obtenemos

$$\begin{cases}x=-3s^2-2s+1\\y=-3s^2-2s\\z=-3s^2-5s-1\end{cases}$$ Existen muchas familias de soluciones debido a la libertad que ofrece el hecho de una única ecuación con tres incógnitas. Nótese que la mayoría de las soluciones dadas aquí son negativas pero siempre en $\mathbb Z$ . Existen, por supuesto, otras parametrizaciones tales que la mayoría de las soluciones dadas son positivas ( como el ejemplo anterior dado por @Kim Jong Un ) .