Multiplicación de matrices: ¿es C (AB) lo mismo que (CA) B?

Question

Me gustaría mostrar que $(\mathbf{A} \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$ donde $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $N \times N$ matrices cuadradas.

Creo que esto se puede hacer de la siguiente manera:

En primer lugar, tenga en cuenta que $(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} (\mathbf{A} \mathbf{B}) = \mathbf{1}$ y también que $\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{1} \mathbf{B} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{B} = \mathbf{1}$ (donde $\mathbf{1}$ es la unidad de la matriz). Así

$(\mathbf{A} \mathbf{B})^{-1} \mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{B}$

lo que implica que

$(\mathbf{A} \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$.

No estoy seguro de que esto es correcto. Parece casi demasiado fácil! La corrección de mi trabajo está basado en mi suposición de que $\mathbf{C} (\mathbf{A}\mathbf{B}) = (\mathbf{C} \mathbf{A}) \mathbf{B}$. Es esto correcto?

En condiciones normales de álgebra lineal, este es el caso. Pero es el caso en la multiplicación de la matriz? No estoy seguro de si los soportes resultado en un orden diferente de la multiplicación y por lo tanto un resultado diferente.

Answer 1

Otra forma de ver que la multiplicación matricial es asociativa es verla como composición de la función.

Como$((f\circ g) \circ h) (x)=(f\circ g) (h (x))=f(g(h (x)))= f ((g \circ h)(x))=(f\circ (g \circ h)) (x)$ y dos funciones son idénticas si coinciden en todos los argumentos, la composición siempre es asociativa.

Answer 2

Su razonamiento es correcto. Sin embargo, en realidad no tiene sentido preguntar si $\mathbf C(\mathbf A\mathbf B)=\mathbf C\mathbf A\mathbf B$, desde el lado de la derecha no está definido, a menos que usted ya sabe que la multiplicación es asociativa o se ha especificado una orden de evaluación (que es lo habitual en los lenguajes de programación, pero no en matemáticas). La pregunta apropiada es la de si $\mathbf C(\mathbf A\mathbf B)=(\mathbf C\mathbf A)\mathbf B$, que es lo que en realidad se lo han utilizado en su derivación. Esto se llama la asociatividad; que tiene de matrices; y permite escribir $\mathbf C\mathbf A\mathbf B$ para cualquiera de los productos.

Answer 3

Como se menciona en los comentarios sobre mi pregunta, es posible demostrarse la propiedad de la asociatividad cambiando a la representación índice de matrices. Hice esto para comprobar a mí mismo lo que se dijo arriba.

Para mostrar que$\mathbf{C}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = (\mathbf{C} \mathbf{A}) \mathbf{B}$, tenga en cuenta que

$ (\mathbf{C}(\mathbf{A}\mathbf{B}))_{ij} = \sum_{l} C_{il}(\mathbf{A}\mathbf{B})_{lj} = \sum_{l}\sum_{k} C_{il}A_{lk}B_{kj}$

Y de manera similar

$ ((\mathbf{C}\mathbf{A})\mathbf{B})_{ij} = \sum_{l} (\mathbf{C}\mathbf{A})_{il} B_{lj} = \sum_{l}\sum_{k} C_{ik}A_{kl}B_{lj}$.

Las dos sumas dobles se pueden ver en el mismo rango de términos, por lo que podemos ver que los elementos de matriz$(\mathbf{C}(\mathbf{A}\mathbf{B}))_{ij}$ y$((\mathbf{C}\mathbf{A})\mathbf{B})_{ij}$ son iguales y por lo tanto$\mathbf{C}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = (\mathbf{C} \mathbf{A}) \mathbf{B}$.