¿Determinar si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente?

Question

Las series $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1} $; ¿Es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente?

Esta pregunta está destinada a ser digno de algunas marcas, así que aunque pensé que tenía la respuesta usando la prueba de comparación, creo que se supone que se incorpora la prueba de la serie alterna.

Answer 1

Su serie es convergente por el teorema de Leibniz pero no absolutamente convergente como se puede ver en comparación con$\sum \frac{1}{n+1}$

Answer 2

La manera @Fant caminó es práctica, pero quizás este acercamiento también ayuda:

Utilice la prueba integral . Como$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ es función decreciente monotónica positiva en$x\geq 2$, de modo que la prueba integral entonces$\sum_2^{\infty}f(n)$ converge o diverge si$\int_2^{\infty}f(x)dx$ converge o diverge. Pero la integral claramente diverge, así que tenemos aquí lo que @Fant notó nuevamente.