Calcular

Question

Tengo preguntas de tarea para calcular la suma de infinito, y cuando la escribo en wolfram, sabe calcular la suma parcial ...

Entonces ... ¿Cómo puedo calcular esto:

ps

Answer 1

Insinuación:
ps

Answer 2

Sugerencia: $$\frac 1 {(k+1)(k+2)}=\frac {1} {k+1}-\frac {1} {k+2}$ $

Answer 3

OK, respondo a la pregunta con la pista:

ps

(Para mi tarea:$$\sum_{k=1}^n \frac 1 {(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^n \left(\frac 1 {k+1} - \frac 1 {k+2}\right) = \\ = \left( \frac 1 2 - \frac 1 3 \right) + \left( \frac 1 3 - \frac 1 4 \right) + \left( \frac 1 4 - \frac 1 5 \right) + \ldots + \left( \frac 1 {n+1} - \frac 1 {n+2} \right) = \\ = \frac 1 2 - \frac 1 {n+2}$)

¡Gracias!

Answer 4

Podemos usar las integrales para calcular esta suma: $$ \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {(k 1) (k 2)} = \ sum_ {k = 1} ^ {n } \ Biggl (\ dfrac {1} {k 1} - \ dfrac {1} {k 2} \ biggr) = \ sum_ {k = 1} 1} x ^ kdx - \ int_ {0} ^ {1} x ^ {k 1} dx \ biggr) $$ $$ = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ int_ {0} ^ {1 } X ^ k (1 - x) dx = \ int_ {0} ^ {1} (1 - x) \ sum_ {k = 1} ^ {n} x ^ kdx = \ int_ {0} ^ {1} 1 - x) \ dfrac {1 - x ^ {n 1}} {1 - x} dx $$ $$ = \ int_ {0} \ Biggl [\ dfrac {x ^ 2} {2} - \ dfrac {x ^ {n 2}} {n 2} \ biggr] _ {0} ^ {1} = \ dfrac {1} {2} - \ dfrac {1} {n 2} $$

Answer 5

Consejos: 1) ampliar las fracciones parciales, 2) utilizar la suma telescópica 3) tomar el límite