Simple prueba que $8\left(\frac{9}{10}\right)^8 > 1$

Question

Esta pregunta está motivada por un paso en la prueba dada aquí.

$\begin{align*} 8^{n+1}-1&\gt 8(8^n-1)\gt 8n^8\\ &=(n+1)^8\left(8\left(\frac{n}{n+1}\right)^8\right)\\ &\geq (n+1)^8\left(8\left(\frac{9}{10}\right)^8\right)\\ &\gt (n+1)^8 . \end{align*}$

Yo no tenía problemas para seguir junto con el comprobante hasta que me golpeó el paso que dependían de la $$8\left(\frac{9}{10}\right)^8 > 1$$. Por lo destapé una calculadora y confirmado que este es de hecho correcta. Y pude ver, después de algunos jugando con la pluma y el papel que cualquier función de la forma \begin{align} k \; \left(\frac{n}{n+1}\right)^k \end{align} donde $n \in \mathbb{Z}$ $k \rightarrow \infty$ es destinado a caer por debajo de uno y quedarse allí. Así que no es un hecho que cualquier función de la forma anterior será mayor que uno.

Lo que yo tengo curiosidad por saber es si hay ingenioso o pequeños trucos o cálculos que usted puede hacer en su cabeza o cualquier handwavy tipo de argumentos que usted puede hacer para confirmar que $$8\left(\frac{9}{10}\right)^8 > 1$$ and even more generally, to confirm for certain natural numbers $k,n$ si \begin{align} k \; \left(\frac{n}{n+1}\right)^k > 1 \end{align}

Así que hay? Y si hay, ¿cuáles son?

Puede ser geométrico. Se pueden usar argumentos basados en la suelta de los límites de ciertos valores del registro. Ni siquiera tiene que ser particularmente simple como el tiempo es algo que usted puede hacer en su cabeza y es algo que se puede explicar razonablemente claramente lo que otros pueden hacer también de él (así que si usted es capaz de calcular mentalmente los números como Euler, no es útil para mí).

Usted puede asumir con seguridad que tengo dificultades para multiplicar cualquier número superior a dos dígitos enteros en mi cabeza. Pero yo también sé que $$\limsup_{k\rightarrow \infty} \log(k) - a\cdot k < 0$$ for any $a>0$, sin tener que volver a un libro de texto.

Answer 1

Para este ejemplo en particular, es bastante fácil, desde $$ (9/10) ^ \geq 8 (8/10) ^ \geq 4 (6/10) ^ \geq 2 (3/10) $$ y listo. Tenga en cuenta que mis límites son bastante crudos en los dos últimos casos.

Cuadratura repetitivo es la forma más rápida de llegar a una gran potencia. De hecho, es cómo una implementación típica de computadora lo hará por potencias de enteros.

Answer 2

Tenga en cuenta que $(1-.1)^8\geq 1-.8$ por la desigualdad de Bernoulli, como se mencionó en un comentario por lvb. Para otros casos se puede usar $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k\geq 1-\frac{k}{n+1}$, lo que hace que sea más fácil encontrar una condición suficiente en $n$ $k\left(\frac{n}{n+1}\right)^k$ a ser más grande que la de $1$.

En el principal problema, la idea era que $k$ es fijo (en $8$), y desde $\frac{n}{n+1}$ $1$ $n$ va al infinito, $k\left(\frac{n}{n+1}\right)^k$ enfoques $k$, y, en particular, es el tiempo más grande que $1$. Entonces uno encuentra en un caso particular, lo que "eventualmente" significa; aquí $n=9$ es suficiente. En general, la desigualdad de Bernoulli lleva a la conclusión de que $n>k$ es suficiente.

Answer 3

Usted puede utilizar el hecho de que $(1 + x/n)^n$ $e^x$ % grande $n$aproxima. Entonces $$ \left (\frac {n-1} {n} \right) ^ {k} = \left (1 - \frac{1}{n}\right)^{k} \thicksim e ^ {-k/n} $$ as $n\rightarrow\infty$. En tu caso, esto le daría $(9/10)^8 \approx e^{-4/5} > 1/e$, que es claramente superior al $1/8$. ($n=10$ Y $x=-1$, el error en la aproximación exponencial es alrededor del 5%).

Answer 4

Voy a empezar desde el "evidente" el hecho de que $(5/4)^3 < 2$. De hecho, la raíz cúbica de 2 es de alrededor de 1,26; por supuesto, usted puede calcular explícitamente $(5/4)^3 = 125/64 < 128/64 = 2$.

A continuación, cubicación ambos lados de la desigualdad, se obtiene

$(5/4)^9 < 8$.

Pero $(10/9)^8 < (10/9)^9 < (5/4)^9$, lo $(10/9)^8 < 8$. Tomando recíprocos, $(9/10)^8 > 1/8$; multiplicando ambos lados por 8 da su resultado.

En realidad, mi heurística aquí es la siguiente: $(10/9)$ es de aproximadamente un tono completo (dos semitonos); por lo $(10/9)^8$ es de alrededor de dieciséis semitonos, o una octava y una tercera mayor, o $2 \times (5/4) = 2.5$. Por lo $(9/10)^8$ debe ser de alrededor de $0.4$. Ver Sanjoy Mahajan del folleto sobre "el canto de los logaritmos", originalmente debido a I. J. Good. Por supuesto, este método sólo es realmente útil si usted sabe un poco de teoría de la música.

Answer 5

OK, aquí es otra:

$$8\left(\frac{9}{10}\right)^8 > 8\left(\frac{9}{10}\right)^9= \left[ 2\left(\frac{9}{10}\right)^3 \right]^3 \,.$$

Así que si podemos probar

$$2\left(\frac{9}{10}\right)^3 >1 \,,$$

hemos terminado.

Esto es equivalente a

$$3^6 > 2^25^3$$

Que es cierto desde

$$3^3 > 5^2$$ and $$3^3 > 2^25$$