Probar que$C^1([a,b])$ con la norma$C^1$ es un espacio de Banach

Question

Considerar el espacio de forma continua funciones diferenciables, $$C^1([a,b]) = \{f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}|f,f' \text{are continuous}\}$$ with the $C^1$-norma $$||f|| = \sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|+\sup_{a\leq x\leq b}|f'(x)|.$$ Demostrar que $C^1([a,b])$ es un Espacio de Banach.

Esta fue la prueba que nos dieron: Asumiendo $C^1([a,b])$ es una normativa espacio lineal de todos los que tenemos que mostrar es la integridad. Deje $(f_n)$ ser una Secuencia de Cauchy en $C^1([a,b])$ con respecto al $C^1$-norma. A continuación, cada una de las $f_n,f'_n\in C([a,b],||\cdot||_{sup})$. Sabemos que $C([a,b])$ es completa y por lo tanto no existe $f,g\in C([a,b])$ tal que $f_n\rightarrow f$, e $f'_n\rightarrow g$ (uniforme) con respecto a $||\cdot||_{sup}$. Si nos vamos a $$ F_n(x) = \int_a^x f_n(t)dt, \hspace{2mm} F(x) = \int_a^x f(t)dt $$ a continuación, $F_n\rightarrow F$ uniformemente porque $$||F_n-F||_{sup}\leq \sup_{a\leq x\leq b}\int_a^x|f_n(t)-f(t)|dt\leq ||f_n-f||_{sup}<\epsilon.$$ Desde el teorema fundamental del cálculo: $$f_n(x)-f_n(a) = \int_a^x f'_n(t)dt $$ Desde $f'_n\rightarrow g$ de manera uniforme, a continuación, $$ \int_a^xf'_n(t)dt\rightarrow \int_a^x g(t)dt $$ Ya sabemos que $f_n\rightarrow f$ de manera uniforme, $$f(x)-f(a) = \int_a^x g(t) dt $$ que por el teorema fundamental de calculues implica $f'=g$. Así que sabemos que tienen $f_n\rightarrow f$$f'_n\rightarrow g=f'$, lo que significa $f_n\rightarrow f\in C^1([a,b])$ con respecto al $C^1$-norma. Así que cada secuencia de cauchy converge. Por lo tanto $C^1([a,b])$ es un Espacio de Banach.

Así que comprendo que la mayoría de la prueba. Donde me confundo es que, ¿cómo podemos demostrar esto satisface el $C^1$-norma? Tal vez no entiendo lo que esta norma hace en realidad.

Gracias por cualquier ayuda, comentarios y consejos!

Answer 1

Al $(f_n)_{n\geq1}$ es una secuencia de Cauchy con respecto a la $C^1$-norma, luego se da un $\epsilon>0$ hay un $n_0$ con $$\eqalign{|f_m(x)-f_n(x)|+|f_m'(x)-f_n'(x)|&\leq \sup_t|f_m(t)-f_n(t)|+\sup_t|f_m'(t)-f_n'(t)|\cr &=\|f_m-f_n\|_{C^1}<\epsilon\cr}$$ para todos los $x\in[a,b]$ y todos los $m$, $n>n_0$. De ello se deduce que tanto $(f_n)_{n\geq1}$ $(f_n')_{n\geq1}$ son secuencias de Cauchy con respecto a la $\sup$-norma y por lo convergen uniformemente a las funciones de $f$$g\in C\bigl([a,b]\bigr)$. Además sabemos que en las circunstancias del caso el límite de la función $f$ es diferenciable y que $f'=g$.

Queda por demostrar que la secuencia de $(f_n)_{n\geq1}$ converge a $f$ con respecto al $C^1$-norma. Para ello vamos a un $\epsilon>0$ ser dado. Puesto que el $f_n$ e las $f_n'$ convergen uniformemente a $f$ $f'$ hay un $n_0$ con $$\|f_n-f\|_\sup<{\epsilon\over2},\qquad\|f_n'-f'\|_\sup<{\epsilon\over2}\qquad \forall\ n>n_0\ ,$$ y esto implica $$\|f_n-f\|_{C^1}<\epsilon \qquad \forall\ n>n_0\ .$$