Encontrar el límite inferior de la función

Question

¿Puede alguien ayudarme a encontrar un límite inferior para la función $$f(x)= \frac {x-1}{e^{-1}-xe^{-x^2}},$$ donde $x \in [1,+ \infty [$ ?

Tomar el derivado y luego resolver $f'(x)=0$ no es analíticamente posible. Entonces intenté lo segundo mejor, encontrar un límite inferior pero no sé realmente cómo empezar, así que cualquier ayuda sería muy bienvenida.

Answer 1

Tras el comentario de njguliyev, considere
$$ \frac{1}{f(x)}=\frac{g(x)-g(1) }{x-1}\tag{1}$$ donde $g(x)=-xe^{-x^2}$ . Por el teorema del valor medio, todo valor de $1/f$ en $(1,\infty)$ también se consigue mediante $g'$ en $(1,\infty)$ . Por lo tanto, necesitamos un límite superior para $g'$ . Desde $$g'(x) = (2x^2-1)e^{-x^2}$$ $$g''(x) = 2x(3-2x^2)e^{-x^2}$$ se deduce que $g'$ es máxima cuando $x^2=3/2$ . Así, el máximo de $g'$ en $(1,\infty)$ es $2e^{-3/2}$ . Esto da una cota superior a (1), y en consecuencia $$f(x) \ge \frac{e^{3/2}}2 ,\quad x\ge 1$$ Este límite inferior es $\approx 2.24$ no muy lejos del mínimo de $\approx 2.34$ encontrados en los comentarios de forma numérica.