Mostrando$a_n = \frac{\tan(1)}{2^1} + \frac{\tan(2)}{2^2} + \dots + \frac{\tan(n)}{2^n}$ no es Cauchy

Question

Mi intestino me dice que la siguiente secuencia no es Cauchy, pero no sé cómo mostrar eso. ps

Answer 1

En 2008, Shalikhov ha mejorado el límite superior de la irracionalidad de la medida de $\pi$ a 7.6063. Esto significa que para cualquier $\mu > 7.6063$, hay en la mayoría de un número finito de pares de relativa primer enteros $(p,q)$ tal que

$$|\pi - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^{\mu}}$$

Una consecuencia de esto es que si uno elige un pequeño suficientemente $C_\mu > 0$, entonces para cualquier par de enteros positivos $(p,q)$, tenemos

$$|\pi - \frac{p}{q}| > \frac{C_\mu}{q^{\mu}}$$

En orden para $\tan n$ a volar, $n$ necesidad de estar muy cerca de algunos de la mitad múltiplo entero , $(\ell + \frac12)\pi$$\pi$. El uso de la cota de irracional medida por encima y deje $\mu = 8$, nos encontramos con

$$\left|n - (\ell + \frac12)\pi\right| = \frac{2\ell+1}{2}\left| \frac{2n}{2\ell+1} - \pi \right| > \frac{C_8}{2(2\ell+1)^7} \sim \frac{\pi^7C_8}{2^8n^7} $$ Aviso $$|\tan x| \sim \frac{1}{|x - (\ell+\frac12)\pi|}\quad\text{ for } x \sim (\ell+\frac12)\pi $$ Esto nos da un aproximado obligado para $\tan n$

$$|\tan n| \,\lesssim\,\frac{2^8 n^7}{\pi^7C_8} \quad\implies\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\tan n}{2^n}\quad\text{ converges absolutely.}$$