Su conjetura es verdadera sobre cualquier campo infinito. Más generalmente, en el conjunto $M_{ab}$ de $a\times b$ matrices, como máximo $(a-r+1)(b-r+1)$ para reducir el rango de un rango hay que cambiar las entradas $r$ matriz.
Para completar, primero pruebo la dirección que mencionas. Como se ha señalado, podemos reordenar las filas y columnas de un rango $r$ matriz $A\in M_{ab}$ hasta que tenga la forma $$ A=\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix} $$ where $X\in M_{r-1,r-1}$ is nonsingular. By changing the $(a-r+1)(b-r+1)$ entries in $W$, we can change $A$ to $$ \begin{bmatrix}X&Y\\Z&ZX^{-1}Y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}X\\Z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I&X^{-1}Y\end{bmatrix} $$ que tiene rango $r-1$ según sea necesario.
Para la inversa utilizaré algo de geometría algebraica. "Abierto" y "cerrado" se referirán a la topología de Zariski. Con $m=(a-r+1)(b-r+1)-1$ debemos demostrar que existe un rango $r$ matriz cuyo rango no se puede reducir cambiando $m$ entradas. Sea $R_r\subseteq M_{ab}$ denotan el conjunto de matrices de rango máximo $r$ . Tenga en cuenta que $R_r$ está cerrado. Las entradas de una matriz en $M_{ab}$ están indexados por el conjunto $I=\{1,\ldots,a\}\times\{1,\ldots,b\}$ . Para $J\subseteq I$ , considere el subespacio de matrices cuyo $J$ -las entradas son cero: $$ Z_J=\{A\in M_{ab}\mid A_{ij}=0\text{ for all }(i,j)\in J\}. $$ Cambiando hasta $m$ equivale a añadir un elemento de $Z_J$ para algunos $J$ avec $|J|=ab-m$ . Por lo tanto, debemos demostrar $R_r$ no está contenida en $$ \bigcup_{J\subseteq I\atop|J|=ab-m}R_{r-1}+Z_J. $$ De hecho, demostraré que el cierre de Zariski de este conjunto no contiene $R_r$ . Suponemos que el campo base $k$ es infinito, por lo que basta con demostrarlo sobre el cierre algebraico de $k$ . Por lo tanto, supongamos $k$ es algebraicamente cerrado.
Recordemos que existe una noción de dimensión para las variedades algebraicas, a saber Dimensión de Krull que coincide con la dimensión lineal para un espacio vectorial. Además un morfismo dominante sólo puede reducir la dimensión . Necesitamos un par de datos sobre $R_r$ : es decir, es irreducible y tiene dimensión $r(a+b-r)$ . Para ver esto, dejemos $U\subseteq M_{ab}$ sea el conjunto abierto de matrices con una izquierda superior no singular $r\times r$ submatriz. Existe un isomorfismo $GL(r)\times M_{a-r,r}\times M_{r,b-r}\to U\cap R_r$ dado por $$ (X,Y,Z)\mapsto \begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I&Z\end{bmatrix}. $$ Así, $U\cap R_r$ es irreducible y tiene dimensión $r^2+(a-r)r+r(b-r)=r(a+b-r)$ . La imagen del mapa de multiplicación $\mu:M_{ar}\times M_{rb}\to M_{ab}$ es $R_r$ . Claramente $U'=\mu^{-1}(U)$ es no vacía. Como $M_{ar}\times M_{rb}$ es irreducible, tenemos $$ R_r=\mu(M_{ar}\times M_{rb})=\mu(\overline{U'})=\overline{\mu(U')}\subseteq\overline{U\cap R_r}. $$ Por lo tanto, $R_r$ es irreducible con dimensión $r(a+b-r)$ .
Para cada $J\subseteq I$ , considere la proyección $\phi_J:M_{ab}\to M_{ab}/Z_J$ . Obsérvese que el codominio es un espacio vectorial de dimensión $|J|$ ; intuitivamente $\phi_J$ escoge el $J$ -entradas de una matriz. Sea $$ D_r=\{J\subseteq I\mid\phi_J|_{R_r}\text{ is dominant}\}. $$ Intuitivamente, $J\in D_r$ significa que si alguien especifica el $J$ entradas de una matriz, casi siempre se pueden elegir las entradas restantes para hacer un rango $r$ matriz. Si $J$ pertenece a $D_r$ entonces también lo hace cualquier subconjunto de $J$ . Supongamos que $J\in D_r\setminus D_{r-1}$ y $R_r\subseteq\overline{R_{r-1}+Z_J}$ . Entonces $$ \phi_J(R_r)\subseteq\phi_J(\overline{R_{r-1}+Z_J})=\overline{\phi_J(R_{r-1}+Z_J)}=\overline{\phi_J(R_{r-1})}\subsetneq M_{ab}/Z_J, $$ contradictorio $J\in D_r$ . Por lo tanto, $J\in D_r\setminus D_{r-1}$ implica $\overline{R_{r-1}+Z_J}$ no contiene $R_r$ .
Supongamos ahora que $|J|=ab-m$ . Primero suponga $J\in D_r$ . Recordemos que la dimensión de $R_{r-1}$ es $(r-1)(a+b-r+1)=ab-m-1<|J|$ . Así, $J\notin D_{r-1}$ Así que $R_r\not\subseteq\overline{R_{r-1}+Z_J}$ .
Por otro lado, supongamos que $J\notin D_r$ . Elige un subconjunto máximo $J'\subseteq J$ avec $J'\in D_r$ . Escoge $j\in J\setminus J'$ y que $J''=J'\cup\{j\}$ . Entonces $Z_{J'}=Z_{J''}+Z_{I\setminus\{j\}}$ Así que $\phi_{J'}$ factores como $\psi\phi_{J''}$ para algún mapa lineal $\psi$ . Obsérvese que el cambio de una sola entrada de una matriz no puede aumentar el rango en más de $1$ Así que $$ R_{r-1}+Z_{I\setminus\{j\}}\subseteq R_r. $$ Por lo tanto, $$ \psi^{-1}(\phi_{J'}(R_{r-1}))=\phi_{J''}(R_{r-1}+Z_{I\setminus\{j\}})\subseteq\phi_{J''}(R_r). $$ Ahora $J''\notin D_r$ por la elección de $J'$ Así que $\phi_{J''}(R_r)$ no es denso. Por lo tanto, $\phi_{J'}(R_{r-1})$ no es denso, por lo que $J'\in D_r\setminus D_{r-1}$ . Por lo tanto, $R_r\not\subseteq\overline{R_{r-1}+Z_{J'}}$ . Pero $Z_J\subseteq Z_{J'}$ Así que de nuevo $R_r\not\subseteq\overline{R_{r-1}+Z_J}$ .
Hemos demostrado $R_r\not\subseteq\overline{R_{r-1}+Z_J}$ siempre que $|J|=ab-m$ . Desde $R_r$ es irreducible, se deduce que $$ R_r\not\subseteq\bigcup_{J\subseteq I\atop|J|=ab-m}\overline{R_{r-1}+Z_J}, $$ según sea necesario.
Por último, hay que señalar que la conjetura es falsa para un campo finito. En efecto, un rango $2$ sobre un campo de tamaño $q$ sólo puede tener $q+1$ filas distintas hasta un múltiplo escalar, por lo que el rango se puede reducir cambiando como máximo $\frac{q}{q+1}n^2$ entradas. Esto es menos que $(n-1)^2$ para $n$ suficientemente grande.
