¿Cómo probar continuidad uniforme?

Question

Estoy empezando la universidad de matemáticas y yo estoy luchando con la comprensión de cómo probar la continuidad uniforme. Creo que entiendo el concepto de la búsqueda de una $|x-x_0|<\delta$$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$, pero todos los ejemplos que he encontrado hasta ahora han sido muy vaga en la explicación de cómo se relacionan unos con otros.

Me he dado cuenta de que los más pequeños de $\delta$ tiene algo que ver con la mayor parte de la $f()$ función de tal manera que si $\delta$ satisface $\epsilon$ en los mayores de ascenso o descenso, se va a satisfacer todas partes los demás.

Pero el problema que estoy enfrentando es que no siempre entiendo cómo se supone que voy a averiguar la relación entre estas dos variables.

Soy capaz de resolver un ejemplo como $f(x) = 5x+8$ así: $x \geq 0, x=x_0+\delta, |f(x)-f(x_0)| = |5(x_0+\delta)+8-5x_0-8| = 5|\delta|$ e lo $5|\delta|<\epsilon$ así que la solución es $\delta < \frac{\epsilon}{5}$. Esto parece fácil y razonable.

Aquí está un ejemplo que no puedo crack: $f:[0,\infty[\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^2$

Así que lo que hice primero fue definir $x_0 \geq 0, x=x_0+\delta$

Luego escribí $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ donde $|f(x)-f(x_0)|$ $|(x_0+\delta)^2 - x_0^2| = |x_0^2 + 2x_0\delta + \delta^2 - x_0^2| = |2x_0\delta + \delta^2|$

En este punto muchos de los ejemplos en la red están diciendo que puede descomponer en dos partes, $|2x_0\delta| < \frac{\epsilon}{2}$ $|\delta^2| < \frac{\epsilon}{2}$ y resolverlos por separado. Así obtengo $\delta < \sqrt{\frac{\epsilon}{2}}$ $\delta < \frac{\epsilon}{4x_0}$

Entonces, ¿qué se supone que voy a hacer con estos dos deltas que tengo? Y por qué se supone que voy a dividirlo en partes? No se debería obtener un solo valor para el $\delta$?

Entiendo que debido a $x^2$ crece a una velocidad creciente, no $\delta$ pueden satisfacer todas las $\epsilon$ (y por lo tanto no es uniformemente continua). Pero no sé cómo se supone que voy a llegar allí.

También, si me confinar el$f(x)=x^2$$f:[0,5]\rightarrow\mathbb{R}$, ¿cómo puedo, a continuación, mostrar que es uniformemente continua?

Muchos de los documentos en los que he encontrado por google uniforme "continuidad", que parecen tomar atajos y me pierdo.

Si alguien puede explicar esto en un "laico" de manera claramente estaría muy agradecido!

Answer 1

Aquí está otro gran caché de casos especiales. Supongamos que es diferenciable una función $f$ un intervalo y su derivado es limitada. Si $$M = \sup |f'|,$ $ para cualquier $x, y$ en el intervalo tenemos$$ |f(x) - f(y)| \le M|x - y|.
Así que si usted especifica un $\epsilon > 0$, $\delta = \epsilon / M$ trabaja para la definición de continuidad.

Más generalmente, si $f$ es continua en un intervalo limitado cerrado, es uniformemente continuo allí. Esto es una consecuencia del teorema de Heine-Borel.

Answer 2

Vamos a empezar con la que muestra la continuidad de las $f(x)=x^2$, y, a continuación, tratando de mostrar uniforme de continuidad.

Gracias a Theo Buehler, usted quiere encontrar una expresión para $\delta$ tal que para todos los $h$ donde $|h|<\delta$, $|f(x_0) - f(x_0+h)| < \epsilon$. De esta manera $x_0+h$ representa todos los valores que están dentro de$\delta$$x_0$.

Lo que están haciendo por $f(x) = x^2$ es una forma válida de hacer las cosas: con $x_0 \geq 0$, se encuentra que las $|f(x_0) - f(x_0 + h)| = |2x_0h + h^2|$. El objetivo es hacer que este valor menor que epsilon.

Para ello, podemos utilizar el triángulo de la desigualdad: en general, $|a| + |b| \geq |a+b|$. Set$a := 2x_0h$$b := h^2$, y tendrás $|2x_0h + h^2| \leq |2x_0h| + |h^2|$.

Si $|2x_0h| + |h^2| < \epsilon$, $|2x_0h + h^2|$ es menor que epsilon. Una forma rápida de hacer esto la verdad es establecer $|2x_0h| < \epsilon/2$$|h^2| = \delta^2 < \epsilon/2$. Si ambas partes están a menos de $\epsilon/2$, entonces su suma será menor que $\epsilon$, y usted puede seguir el argumento de volver a decir que $|f(x_0 + h) - f(x_0)|<\epsilon$.

Tomar las declaraciones y reorganizar para obtener $|h| < \frac{\epsilon}{4|x_0|}$$|h| < \sqrt{\epsilon/2}$. Para hacer ambas cosas verdaderas, vamos a $|h|$ ser menor que el menor de los dos límites, $|h| < \min\left(\frac{\epsilon}{4|x_0|},\sqrt{\epsilon/2}\right)$. Establezca el lado derecho de la desigualdad a ser su $\delta$. A continuación, para $|h| < \delta$, $|f(x_0+h) - f(x_0)|<\epsilon$, cual es la definición de (en general, no uniforme) continuidad.

(Si $x_0 = 0$,$|2x_0h|=0$, por lo que sólo necesita para hacer de $|h| < \sqrt{\epsilon/2}$.

Para entender por qué esto implica la continuidad, pero no uniforme, la continuidad, la revisión de su declaración de que $|f(x_0) - f(x_0 + h)| = |2x_0h + h^2|$. Usted quiere encontrar un delta tal que la expresión $|f(x_0) - f(x_0 + h)|$ está delimitado por epsilon para todos los $x_0$$|h| < \delta$. Pero ¿qué pasa cuando usted hace $x_0$ más grande? No importa lo $\delta > 0$ intenta puedo tomar las $h = \delta/2$, e $x_0=2\frac{\epsilon}{\delta}-\frac{\delta}{4}$ hacer $|f(x_0) - f(x_0 + \delta)| = |2x_0h + h^2| = 2\epsilon$, que supera el epsilon obligado. En otras palabras, el delta que fue encontrado en el párrafo anterior es dependiente de $x_0$. Si usted hace $x_0$ más grande, $|f(x_0) - f(x_0 + h)|$ también tienden a infinito.

En general, si usted está demostrando (general o uniforme), la continuidad de la definición, que están tratando de manipular las desigualdades para encontrar $\delta$ en términos de$\epsilon$$x_0$. Puede parecer un poco contra-intuitivo, pero se hace más fácil con la práctica.

Para la instancia de la restricción $f(x)=x^2$ para el conjunto de $[0,5]$, se puede apelar a la Heine-Cantor teoremaque establece que, en métrica espacios de funciones continuas cuyo dominio es un conjunto compacto son uniformemente continuas.

También puede utilizar la maquinaria que creó anteriormente. Dado un $x_0 \neq 0$, $\delta = \min\left(\frac{\epsilon}{4|x_0|},\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}\right)$, y para $x_0 = 0$, $\delta = \sqrt{\frac{\epsilon}{2}}$. En $[0,5]$, usted puede minimizar $\frac{\epsilon}{4|x_0|}$ por la maximización de las $x_0$, así que vamos a $x_0 = 5$. Por lo tanto, usted puede encontrar un delta que funciona para todas las $x_0 \in [0,5]$ mediante el establecimiento $\delta := \min \left(\frac{\epsilon}{20},\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}\right)$.

Answer 3

En primer lugar, usted debe entender que el uniforme de continuidad, a diferencia de la continuidad, es una condición global de la función en su dominio. Es decir, dada una $\epsilon>0$ , existe un $\delta>0$ que sólo depende de que $\epsilon$, por lo que para cualquier par de puntos de $x$ $y$ en el dominio, si $|x-y|<\delta$$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Una forma equivalente a mira esto -- que trae este mundial-ness más a la frente-es ver que, si dos secuencias (no necesita ser delimitado o nada) en el dominio: $\langle x_n \rangle$ $\langle y_n \rangle$ son equivalentes (es decir, el límite de su diferencia tiende a $0$), entonces también lo es$\langle f(x_n) \rangle$$\langle f(y_n) \rangle$. Una ventaja de invocar secuencial de las caracterizaciones de ciertas propiedades de las funciones, es que son más fácil de probar que recurrir a epsilonics.

Ahora considere el$f(x)=x^2$$\mathbb R$, es fácil ver que $\langle n \rangle$ $\langle n+\frac{1}{n} \rangle$ son quivalent. Pero, cuando aplicamos $f$, podemos obtener las secuencias de $\langle n^2 \rangle$ $\langle n^2+\frac{1}{n^2}+2 \rangle$ y su diferencia tiende a $2$, es decir, que no son equivalentes.

También, recuerde que ayuda a comprender ciertos hechos, tales como:

1. Una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua.
2. Una función continua que eso es de lipschitz es uniformemente continua.
3. Si una función es uniformemente continua, que va a asignar una secuencia de cauchy para una secuencia de cauchy.