$\sin (n^2)$ diverge

Question

Se puede demostrar que $\sin n$ diverge, utilizando el hecho de que los números naturales módulo $2\pi$ es denso.

Sin embargo, el caso de $\sin (n^2)$ parece mucho más delicada, ya que es una continuación de la anterior. Creo firmemente que esta secuencia es divergente, pero no puedo demostrarlo.

En general, ¿se puede demostrar que $\sin (n^a)$ diverge para $a>0$ ?

Answer 1

Para generalizar Michael de la respuesta:

Teorema. Para todo polinomio no constante $f(X)\in\Bbb Q[X]$ la secuencia $\sin f(n)$ tiene infinitos puntos límite.

Prueba. (Por inducción).

Dejemos que $f(X)\in\Bbb Q[X]$ de grado $d$ .

Si $d=1$ es bien sabido que $\{\,f(n)\bmod 2\pi\mid n\in\Bbb N\,\}$ es denso en $[0,2\pi]$ porque $\pi$ es irracional. Entonces $\{\,\sin f(n)\mid n\in\Bbb N\,\}$ es denso en $[-1,1]$ .

Si $d>1$ la función $g(X)=f(X+1)-f(X)$ es un polinomio $\in\Bbb Q[X]$ de grado $d-1$ . Si $\sin f(n)$ sólo tiene $N$ puntos límite entonces $\cos f(n)$ tiene como máximo $2N$ puntos límite y $$\sin g(n)= \sin f(n+1)\cos f(n)-\sin f(n)\cos f(n+1)$$ tiene como máximo $4N^4$ puntos límite, contradiciendo la hipótesis de la inducción. $\square$

---

Observación: Estoy bastante seguro de que realmente tenemos "denso en $[-1,1]$ " en lugar de simplemente "tiene infinitos puntos límite".

Answer 2

Si $\sin n^2$ tiene un límite $L$ entonces $\cos n^2$ se acerca a $\pm \sqrt{1-L^2}$ . $$\sin(2n+1)=\sin (n+1)^2\cos n^2-\cos(n+1)^2\sin n^2$$ El lado derecho tendrá como mucho cuatro puntos límite, dependiendo de los signos de los cosenos, pero el lado izquierdo es denso en $[-1,1]$

Edición: Creo que esto se extiende a todos $\alpha$ .

Si $0<\alpha<1$ entonces $\sin n^\alpha$ es denso porque muchos $n^\alpha$ encaja entre los múltiplos de $2\pi$ .
Si $1<\alpha<2$ entonces $$(n+1)^\alpha-n^\alpha=\alpha n^{\alpha-1}+O(n^{\alpha-2})$$ se hace más denso a medida que $n$ se hace grande, por lo que su seno es denso en $[-1,1]$ .
Si $2<\alpha<3$ entonces $$(n+2)^\alpha-2(n+1)^\alpha+n^\alpha=\alpha(\alpha-1)n^{\alpha-2}+O(n^{\alpha-3})$$ es denso, y así sucesivamente.
Todos los senos de los lados de la izquierda tienen límites que se pueden escribir como polinomios de $L$ y $\pm\sqrt{1-L^2}$ y por lo tanto tienen un número finito de valores.