Si V es un espacio vectorial de dimensión N y $f\colon V \to V$ es un endomorfismo, uno define su determinante para ser escalares correspondientes a la inducida por el mapa de $\wedge^N V \to \wedge^N V$.
Me gusta esta definición, pero realmente no puedo decir que sé cómo trabajar con él. Por ejemplo, ¿cómo se puede demostrar que det es una expresión algebraica mapa? Me gustaría mostrar que GL(V) es una variedad, sin escoger una base para V.
Edit: Como se señaló en los comentarios, det es un mapa Final(V) $\to$ Final($\wedge^N V$) = k, donde k es el campo base. Este mapa está lejos de ser lineal, en el hecho de escoger una base para V uno puede buscar en cualquier libro de texto que es un polinomio de grado N en las entradas de la matriz correspondiente, es decir, un elemento de Sym$^N$End(V)$^*$. Así que la pregunta se reduce a la identificación de det como un elemento de SymEnd(V)$^*$ = SymEnd(V$^*$).
