¿Por qué la métrica Sasaki es natural?

Question

Deje $(M,g)$ ser una de Riemann colector con $\text{dim}(M)=n$. Entonces, no es una forma "natural" métrica $\tilde{g}$ sobre la tangente bundle $TM$, por lo que el $(TM,\tilde{g})$ es un colector de Riemann, llamado el Sasaki métrica, donde un elemento línea que está escrito (con coordenadas locales de $TM$$(x,v)$): $$d\sigma^2 = g_{ij}\,dx^idx^j + g_{ij}\, Dv^iDv^j$$ donde $D$ representa la diferenciación covariante: $$Dv^i = dv^i + \Gamma_{jk}^iv^jdx^k$$ En los componentes, dejando que los índices de rango en $1$$n$, esto es: $$\begin{align} \tilde{g}_{jk} &= g_{jk} + g_{\alpha \gamma}\Gamma_{\mu j}^\alpha\Gamma_{\eta k}^\gamma v^\mu v^\eta =: g_{jk}+A_{jk} \\ \tilde{g}_{j(n+k)} &= g_{kd}\Gamma^d_{\lambda j}v^\lambda =: B_{jk}\\ \tilde{g}_{(n+j)(n+k)} &= g_{jk} \end{align}$$ O, como una matriz: $$\tilde{g} = \begin{bmatrix} g+A & B \\ B^T & g \end{bmatrix}$$

Pregunta: intuitivamente hablando, ¿por qué esto es "natural"?

Soy consciente de otros "natural" de los parámetros de la tangente paquete; esta pregunta es específicamente acerca de esto, y la intuición geométrica de por qué es una buena elección de la métrica. Me parece que no puede el de la imagen.

Relacionado: [1], [2], [3]

Answer 1

TL;DR: La conexión nos da una manera de descomponer canónicamente $TTM$ como la suma directa de dos copias de $TM$ ("horizontal" y "vertical" paquetes), por lo que acabamos de dar a cada uno copia de la métrica de Riemann y declarar la suma directa de ser ortonormales. Versión larga:

Una métrica de Riemann en $TM$ es un (varían suavemente) elección de producto interior en el doble espacio de la tangente $T_v TM$ por cada $v \in TM$. Desde $\pi : TM \to M$ es un vector paquete de más de $M$, cada una de las $T_v TM$ tiene como un subespacio vertical en el espacio de la tangente $V_v TM$, el cual consta de los vectores de velocidad de las curvas en el espacio vectorial $T_{\pi(v)} M$, y por lo tanto puede ser canónicamente identificado con $T_v M$. La de Levi-Civita de conexión de $(M,g)$ proporciona un canónica horizontal subespacio $H_v TM$, el cual consta de los vectores de velocidad de las curvas de $(\gamma(t), V(t)) \in TM$ tal que $v= (\gamma(0),V(0))$ $\nabla_{\dot \gamma} V = 0.$

El resultado de todo esto es que tenemos una suma directa de descomposición $TTM = VTM \oplus HTM$, con canónica isomorphisms $V_v TM \simeq T_{\pi(v)} M$ (descrito anteriormente) y $H_v TM \simeq T_{\pi(v)} M$ (mediante el envío de la velocidad de $(\gamma,V)$ a la velocidad de la $\gamma$). Si esto no es intuitivo, pensar acerca de la distancia Euclídea caso - si usted tiene un vector tangente $v$$p= \pi(v) \in \mathbb R^n$, entonces las direcciones se puede mover a separar en una copia de $R^n$ por el movimiento del punto de base y otra copia para el movimiento del vector.

El Sasaki métrica puede ser entonces, naturalmente, se define mediante la declaración de $V_vTM$ $H_vTM$ ser ortogonales, con la métrica de cada factor, siendo el retroceso de $g$ $T_{\pi(v)}M$ a través de la canónica isomorphisms.

Esta construcción funciona para cualquier vector paquete de $E$ (a través de un colector de Riemann $M$) equipado con una fibra métrica y compatible con la conexión: la tangente vertical de los espacios tomar la fibra métrica de $E$, mientras que la horizontal espacios (como definido por la conexión) tomar la métrica de $TM$. He visto esto de la construcción en general llama la Kaluza-Klein métrica.