' quantum ' vs ' clásico ' efectos en la teoría cuántica de campos

Question

Después de leer un par de libros de texto sobre la Teoría del Campo Cuántico, hay algo que siempre me llamó la atención como extraño. Tomar un proceso de la dispersión en QED como $\gamma$,e$^-$ $\rightarrow$ $\gamma$,e$^-$. La orden principal contribución a este proceso se inicia en el árbol-nivel. Si suponemos que el fotón entrante es al azar polarizada, que el entrante electrón tiene una tirada al azar, y que somos insensibles a los fotones de la final de polarización/los electrones de la final de vuelta, entonces la diferencial de la sección transversal para la $\gamma$,e$^-$ $\rightarrow$ $\gamma$,e$^-$ en el marco de laboratorio donde el electrón está inicialmente en reposo está dada por el Klein Nishina Fórmula.

La cosa es que, yo siempre leer en varios libros de texto que el árbol de nivel de contribución a un proceso de la dispersión corresponde a la contribución de la clásica de la teoría de campo de dicho proceso, y que realmente 'quantum' efectos comienzan en el próximo líder de la orden (casi siempre implican diagramas de lazos). Pero con un proceso como $\gamma$,e$^-$ $\rightarrow$ $\gamma$,e$^-$, el árbol de la contribución a nivel contiene efectos que simplemente no son predichas por la clásica del electromagnetismo. La sección transversal diferencial predicho por la clásica del electromagnetismo es igual a $r_e^2(1+\frac{\cos(\theta)^2}{2})$, mientras que el diferencial de la sección transversal de la predicha por el Klein Nishina Fórmula tiene una dependencia en la energía del fotón entrante, que va reduce a la clásica sección transversal diferencial como tablones constante va a cero. Claramente hay algo previsto en el árbol de nivel de la sección transversal que se pierde por la clásica del electromagnetismo. Así que la idea de que 'quantum' predicciones de comenzar en el próximo líder de la orden parece errónea en el mejor.

Estoy completamente fuera de aquí? Es la idea de que 'quantum' efectos de iniciar en el próximo líder de la orden sólo debe ser tomada como una heurística forma de pensar acerca de las cosas? O solo estoy overthinking cosas?

Answer 1

Los efectos cuánticos se desvanecen cuando $\hbar \rightarrow 0$. El análisis de la $\hbar$ poderes en los vértices y propagadores de los resultados en una simple regla de afirmar que la contribución de un diagrama que contenga $N-$ de los bucles de las amplitudes es proporcional a $\hbar^{N}$. Por lo tanto, debemos esperar que el clásico de las amplitudes a dar exactamente por el árbol a nivel de diagramas.

Sin embargo, hay una excepción en la regla de correspondencia entre el árbol de nivel diagramas clásicos y amplitudes. Esta excepción se explica en el siguiente trabajo : Holstein y Donoghue. Por favor, véase también, las obras anteriores de los mismos autores citados en el artículo, donde más casos fueron analizados.

La excepción de la regla de correspondencia se produce cuando el bucle diagrama contiene dos o más masa propagadores. En este caso, se observó por Holstein y Donoghue que las contribuciones a la clásica amplitudes se producen en el bucle de nivel por cierto no analítico plazo en el impulso de espacio. Esta tem puede ser reconocido contienen $\hbar$ a la cero potencia cuando el bucle diagrama se expresa en términos de la momenta en lugar de los números de onda como generalmente de forma implícita se hace cuando diagramas de lazos están resueltos. Holstein y Donoghue muestran que este término no existe en el caso de la masiva propagadores donde no hay contribución de los diagramas de lazos para el clásico de las amplitudes.

El ejemplo dado en la pregunta de electrones de la dispersión de fotones no sufren el problema de arriba. La expresión dada en la pregunta es válida en el caso particular de un electrón en nonrelativistic de movimiento como se subraya en Jackson libro "electrodinámica Clásica" de la sección 14.7. El totalmente relativista clásica sección transversal debe ser exactamente igual a la de árbol a nivel cuántico (de Klein-Nishina ) sección transversal.

Actualización

Respuesta a la primera pregunta de seguimiento

Con el fin de realizar correctamente el $\hbar$ expansión, los campos deben ser escaladas por los poderes apropiados $\hbar$ a fin de que sus relaciones de conmutación proporcional a $\hbar$, por lo que viajarán en el $\hbar \rightarrow 0$ límite. Las constantes de acoplamiento debe ampliarse en consecuencia. Por ejemplo, el Lagrangiano de Dirac: $$\mathcal{L}_D = c \bar{\psi}\bigg(\gamma^{\mu} (i \hbar \partial_{\mu} – e A_{\mu}) – m c \bigg)\psi$$ Necesitamos absorber el $\hbar$ que proviene del impulso del operador en el campo, así como por la redefinición de $$\mathcal{L}_D = c \bar{\tilde{\psi}}\bigg(\gamma^{\mu} (i \partial_{\mu} – \frac{e }{\hbar}A_{\mu}) – \frac{ m}{\hbar} c \bigg)\tilde{\psi}$$ Por lo tanto tenemos que tomar $$ \tilde{e} = \frac{e}{\hbar}, \quad \tilde{m} = \frac{m}{\hbar} $$ Se fija como $\hbar \rightarrow 0$.

El uso de la escala de la carga eléctrica, la constante de estructura fina toma la forma: $$\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} = \frac{\tilde{e} \hbar}{4 \pi \epsilon_0 c}$$ Ahora, $\alpha$ es lineal en $\hbar$, por lo que se desvanece en el límite clásico. Por favor, consulte el siguiente trabajo por Brodsky y Hoyer, para la ampliación de los distintos campos y constante de acoplamiento.

Respuesta a la segunda pregunta de seguimiento:

En su papel original de 1929 Klein y Nishina calcula el Compton sección transversal utilizando la ecuación de Dirac en el fondo de un clásico campo de radiación. No hizo uso de un campo electromagnético cuantizado. Por lo tanto, no hizo uso de QED. Por favor, consulte la derivación también en Yazaki del artículo(Hay una versión en pdf en el interior).

En mi opinión, la única razón por la que tuvieron que usar la ecuación de Dirac es tomar en cuenta el spin. Estoy bastante seguro de que utilizando los más modernos modelos clásicos para el giro como el Bargmann-Michel-Telegdi teoría puede ser utilizado para brindar una clásica derivación de la de Klein-Nishina resultado. No he podido encontrar una referencia que alguien ha realizado este trabajo. Estoy seguro de que podría ser un buen proyecto para hacer.