¿Qué es un enfoque intuitivo para resolver $\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}\biggr)$ ?

Question

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}\biggr)$$

Me las arreglé para obtener la respuesta como $1$ por métodos estándar de resolución, aprendidos de los profesores, pero mi intuición dice que el denominador de cada término crece mucho más rápido que el numerador por lo que el límite debe ser igual a cero.

¿Dónde está mi error? Por favor, explíquelo de forma muy intuitiva.

Answer 1

La intuición debería decir:

el denominador crece con $n^2$ el numerador crece con $n$ . Sin embargo, el número de fracciones también crece por $n$ por lo que el crecimiento total del numerador es de aproximadamente $n^2$ .

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Y ahí se acaba la intuición. A partir de aquí, hay que ir con la lógica y el rigor, no con la intuición.

Y te lleva a

$$\frac1{n^2} + \frac2{n^2}+\cdots + \frac{n}{n^2} = \frac{1+2+3+\cdots + n}{n^2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n^2+n}{2n^2}$$

y se encuentra que el límite es $\frac12$ (no $1$ !)

Answer 2

Con integrales: $\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}\biggr)=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n}+\dots+\frac{n}{n}\biggr)= \int_{0}^1 x dx =\frac{1}{2}$ .

Answer 3

Fíjate en eso:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n^2}\left(1+2+\dots n\right)$$ y esta última suma se puede sustituir por la fórmula de Gauss, por lo que se convierte en $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$$

$$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}\right)=\frac{1}{2}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$$

Answer 4

Tal vez esto esté fuera de su plan de estudios, pero también se podría utilizar el Teorema de Stolz-Cesàro .

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+(n-1)+n}{n^2}$$

Denotemos el numerador y el denominador, respectivamente, por

$$a_n=\sum_{k=1}^nk$$ $$b_n=n^2$$

Es fácil demostrar que $b_n$ es estrictamente monótona y divergente. Stolz-Cesàro dice entonces que si

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$

existe, entonces es igual a

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$$

Tenemos

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k-\sum\limits_{k=1}^nk}{(n+1)^2-n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac12$$

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Como menciona la página Wiki, el teorema se conoce a veces como "regla de L'Hopital para las secuencias". Si te parece intuitivo ( pregunta relacionada ), entonces quizás piense lo mismo del enfoque que utiliza este teorema.

Answer 5

Si sacas el denominador, el numerador suma $\frac{n(n+1)}{2}$ entonces $n^2$ término se anula y cuando se toma el límite se obtiene $\frac{1}{2}$