Suma de las series: 1+11+111+...

Question

Suma de las series $1+11+111+ \cdots +11 \cdots11 $ ( $n$ dígitos)

Lo hemos hecho:

$1= \frac {10-1}9,$

$11= \frac {10^2-1}9$

.

.

.

$11...11= \frac {10^n-1}9$ (número con $n$ dígitos)

y sumándolos encontramos la suma ( $S$ ) como:

$S=(10^{n+1}-9n-10)/81$

También la forma general de los términos es:

$s(n)=(10^{n+1}-10^n-9)/81$

Ahora considera la función:

$f(x)=10^{x+1}−10^x-9$

Desde $ \Delta x= 1$ debido a la definición de integral que podemos escribir:

$S=(1/81) \sum (10^{x+1}−10^x-9), [1, ∞]$

$ =(1/81)∫(10^{x+1}-10^x-9) dx ;[0, 1]$

pero no funciona. ¿Puede alguien decir qué salió mal, es decir, por qué la integral no da $S$ como mencioné primero?

Me di cuenta ahora de que esto es más una secuencia que una serie. Una secuencia es un conjunto de números que resultan de un término general donde como serie es un conjunto de elementos funcionales; el derivado de elementos de una secuencia es cero y su integración no tiene sentido. Así que usando la integración del término general de un para encontrar su suma no es necesario.

Answer 1

$$ \begin{align*} S &= \sum_{i=1}^n (10^i-1)/9 \\[6pt] &= \frac{1}{9} \left(\sum_{i=1}^n 10^i - \sum_{i=1}^n 1 \right) \\[6pt] &= \frac{1}{9} \left(\frac{10}{9}(10^n -1) - n\right) \\[6pt] &= \frac{10}{81} (10^n -1) - \frac{n}{9} \end{align*} $$