Conceptos de las matemáticas que se conocen como ' generalizaciones '

Question

Tengo curiosidad por conocer algunos de los teoremas que se enseña en la avanzada de los cursos de matemáticas que se consideran "generalizaciones" de los teoremas que se aprenden en los principios de la universidad o finales de la escuela secundaria (o incluso a finales de la universidad).

Por ejemplo, sé que el teorema de Stokes es una generalización del teorema de la divergencia, el teorema fundamental del cálculo y el Verde del teorema, entre estoy seguro de que muchos otros conceptos.

He leído que la matemática pura se ocupa fundamentalmente con el concepto de "generalización" y me pregunto que teoremas/ideas/conceptos, como el teorema de Stokes, actualmente se celebra la 'generalización' por los matemáticos.

Answer 1

El Yoneda lema de la categoría teoría dice que cada categoría puede ser entendido como una categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son las funciones.

Un grupo puede ser interpretado como un caso especial de la categoría: se trata de una categoría con un solo objeto, cuyos morfismos son todos invertible. El caso especial de la Yoneda lema para esta categoría dice que el (único) objeto puede ser entendido como un conjunto $S$ y los morfismos (que son los elementos del grupo) puede ser entendido como invertible funciones de $S$ a sí mismo.

Esto es exactamente de Cayley del teorema de la teoría de grupos; se dice que cualquier grupo puede ser entendido como un grupo de permutaciones de los elementos de un conjunto.

Answer 2

Algunos topológico resultados generalizar famoso utiliza los teoremas de cálculo, incluyendo el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo.

Recordar el Teorema del Valor Intermedio, el cual establece que dada una función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y los valores de $f(a)<f(b)$ $c$ tal que $f(a)<c<f(b)$, entonces no existe $d\in \mathbb{R}$ tal que $f(d)=c$. Este es generalizada por el hecho de que si $X$ está conectado a un espacio topológico, $Y$ un espacio topológico, y $f:X\rightarrow Y$ es una función continua, entonces $f[X]$ está conectado a un subespacio de $Y$.

Del mismo modo, el Valor Extremo Teorema establece que dada una función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$, entonces no se $c,d\in [a,b]$ tal que $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$ por cada $x\in [a,b]$. Este es generalizada por el hecho de que si $X$ es un compacto de espacio topológico, $Y$ un espacio topológico, y $f:X\rightarrow Y$ una función continua, entonces $f[X]$ es un subespacio compacto de $Y$.

Answer 3

En la geometría esférica, el área de un triángulo en una unidad de esfera con ángulos $\angle A, \angle B, \angle C$ es $$A + B + C - \pi,$$ un resultado que se remonta a tal vez el siglo 17.

El de Gauss-Bonnet Teorema generaliza a cualquier superficie compacta (2-dimensional de Riemann colector con esquinas) $(M, g)$: Si $(M, g)$ tiene la curvatura Gaussiana $K$ y su límite $\partial M$ tiene curvatura geodésica $k_g$, tenemos $$\int_M K \,ds + \int_{\partial M} k_g = 2 \pi \chi(M),$$ donde $\chi(M)$ es la característica de Euler. (Nota de la interpretación de los límites de la integral, se debe incluir la suma de los ángulos de giro en cada una de las esquinas.)

Supongo que esto también se generaliza el clásico de la escuela secundaria resultado que la suma de los ángulos de un triángulo plano es $\pi$, así como la fórmula de la circunferencia de un círculo unitario.

Answer 4

Ley de los cosenos es una generalización del Teorema de Pitágoras

Answer 5

Lesbesgue integral es un no es, obviamente, una generalización de la integral de Riemann. No es difícil probar que cada Riemann-integrable función es Lebesgue integrable y que los valores de ambas integrales de acuerdo siempre que se definen.

Un integrante que es una generalización de la integral de Riemann es Henstock-Kurzweil integral. También pueden ver más aquí.