Conexión de 4 velocidades con la ecuación de suma de velocidades

Question

¿Hay alguna forma de conectar la velocidad 4 a las ecuaciones para sumar velocidades? Sé que 4-velocidad $U^\mu$ se deriva así:

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\begin{equation} \begin{split} P^\mu &= m U^\mu \Longrightarrow U^\mu = P^\mu \frac{1}{m} = \begin{bmatrix} p_x\\ p_y\\ p_z\\ \frac{W}{c} \end{bmatrix} \frac{1}{m} = \begin{bmatrix} \frac{mv_x \gamma(v)}{m}\\ \frac{mv_y \gamma(v)}{m}\\ \frac{mv_z \gamma(v)}{m}\\ \frac{mc^2 \gamma(v)}{c m}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \gamma(v)\\ v_y \gamma(v)\\ v_z \gamma(v)\\ c \gamma(v)\\ \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

O así:

\begin{equation} \begin{split} U^\mu = \frac{d X^\mu}{d \tau} = \frac{d}{dt}X^\mu \gamma(v)= \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} d x\\ d y\\ d z \\ c d t \end{bmatrix} \gamma(v) = \begin{bmatrix} v_x\gamma(v)\\ v_y\gamma(v)\\ v_z\gamma(v)\\ c \gamma(v) \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

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Y sé cómo derivar transformaciones de Lorentz para velocidades $\perp$ a la velocidad relativa $u$ (que está en dirección $x$ , $x'$ eje) y $\parallel$ a $u$ . Dice así:

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a.) $\parallel$ a $u$ : \begin{equation} \begin{split} v_y' &= \frac{dy'}{dt'}=\frac{d y}{\gamma \left(d t - d x \frac{u}{c^2} \right)} = \\ &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\gamma \left(\frac{dt}{dt} - \frac{dx}{dt} \frac{u}{c^2} \right)}\\ &\boxed{v_y' = \frac{v_y}{\gamma \left(1 - v_x \frac{u}{c^2} \right)}} \end{split} \end{equation}

b.) $\perp$ a $u$ : \begin{equation} \begin{split} v_x' &= \frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma (d x - u d t)}{\gamma \left(d t - d x \frac{u}{c^2} \right)} = \\ &= \frac{d x - u d t}{d t - d x \frac{u}{c^2}} = \frac{\frac{d x}{d t} - u \frac{d t}{d t}}{\frac{d t}{d t} - \frac{d x}{d t} \frac{u}{c^2}}\\ &\boxed{v_x' = \frac{v_x - u}{1- v_x \frac{u}{c^2}}} \end{split} \end{equation}

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PREGUNTA:

¿Dónde está la conexión entre la 4-velocidad y las ecuaciones derivadas bajo a.) y b.) ? ¿Cómo puedo mostrar la conexión?

Answer 1

Sí, a partir de la ley de transformación de las cuatro velocidades, podemos deducir explícitamente las transformaciones de las tres velocidades paralelas y perpendiculares a un impulso dado.

En primer lugar, tenemos que hablar de lo que es la ley de transformación para la cuatro-velocidad con respecto a un impulso. Sea la cuatro-velocidad $U = (U^t, U^x, U^y, U^z)$ . Impulsemos esto a lo largo de la dirección x con una velocidad $\mu c$ . Como cualquier cuatro-vector, la cuatro-velocidad se transforma bajo transformaciones de Lorentz así:

$$\begin{align*} {U'}^t &= W(U^t - \mu U^x) \\ {U'}^x &= W(U^x - \mu U^t) \\ {U'}^y &= U^y \\ {U'}^z &= U^z\end{align*}$$

donde $W = 1/\sqrt{1-\mu^2}$ es el factor de Lorentz del impulso.

Ahora, descompongamos el cuatro vector original $U$ como $U= \gamma c(1, \beta^x, \beta^y, \beta^z)$ . Podemos encontrar los componentes de $U'$ como

$$\begin{align*} {U'}^t &= W\gamma c(1 - \mu \beta^x) \\ {U'}^x &= W \gamma c (\beta^x - \mu) \\ {U'}^y &= \gamma c \beta^y \\ {U'}^x &= \gamma c \beta^z\end{align*}$$

A continuación, puede encontrar los componentes de la tres-velocidad en el marco preparado tomando ${U'}^i/{U'}^t$ .

$$\begin{align*} \frac{{v'}^x}{c} &= \frac{{U'}^x}{{U'}^t} = \frac{\beta^x - \mu}{1 - \mu \beta^x} \\ \frac{{v'}^y}{c} &= \frac{{U'}^y}{{U'}^t} = \frac{\beta^y}{W(1-\mu \beta^x)} \\ \frac{{v'}^z}{c} &= \frac{{U'}^z}{{U'}^t} = \frac{\beta^z}{W(1-\mu \beta^x)} \end{align*}$$

Son algebraicamente iguales a las fórmulas que has puesto en (a) y (b). Para mí, esto es mucho más simple que revolviendo a través de la velocidad-adición. Las leyes de transformación de cuatro vectores son fáciles de aprender, y la cantidad de manipulación necesaria para encontrar el nuevo tres-velocidad es mínima.

*Nota: tu terminología sobre paralelo vs. perpendicular al impulso parece confusa. No obstante, creo que mis resultados captan lo que pretendías. La velocidad de impulsión está en la dirección del eje x.