¿qué es una prueba matemática válida?

Question

Por lo que he visto en mi experiencia con las matemáticas podemos decir que

una prueba válida es aquella que utiliza alguna forma de lógica (normalmente la lógica de predicados) y utiliza reglas lógicas de deducción y axiomas o teoremas en su campo específico para conducir algunas oraciones nuevas que eventualmente conducirán a la proposición que queremos probar .

pero sabemos que la mayoría de las pruebas dadas en la mayor parte de los campos (¡si no en todos!) están en realidad en lenguaje informal .

Si aceptamos la definición anterior, ninguna de estas pruebas es válida.

¿cómo podemos ampliar o cambiar la idea de una prueba válida para llegar a una mejor definición de una prueba matemática válida?

Answer 1

Lo que ha definido podría llamarse prueba formal válida .

A una prueba matemática válida (o un prueba aceptada por la comunidad matemática ) por otro lado puede puede describirse como una disposición informal de argumentos que el lector encuentra convincente en el sentido de que cree firmemente que es posible escribir una prueba formal válida reflejando los argumentos dados.

Algunos comentarios aclaratorios:

• "Un programa de ordenador probó todos los enteros pares de $4$ hasta $10^{100}$ y verificado que cada uno de ellos puede escribirse como suma de dos primos" - Esto no es lo suficientemente convincente como para ser una prueba matemática. Es puede ser lo suficientemente convincente como para aceptar que la afirmación es correcta para los pares hasta $10^{100}$ en la medida en que los pasos computacionales del programa (una vez verificado que son algorítmicamente correctos) podrían traducirse en un formal prueba. Pero no hay ningún hitn en cuanto a cómo el argumento podría convertirse en una prueba formal general (por inducción, digamos)

• Una larga secuencia de afirmaciones sin explicaciones ni comentarios y la mera afirmación de que cada línea se desprende de alguna manera de las anteriores (es decir, una prueba formal) no puede aceptarse a la ligera como una prueba matemática. De hecho, la propia falta de motivación y de comentarios e indicaciones útiles hace que tal bestia sea sospechosa: uno podría realmente tiene que verificar cada una de las líneas y comprobar que hay algunas líneas anteriores que conducen a ella; no existe la lectura en diagonal. De hecho, en este sitio se pueden encontrar varias preguntas en las que alguien presenta una prueba de $1=0$ o similares que consisten completamente en ecuaciones sin comentarios - y uno tiene que comprobar realmente que hay es un paso en algún lugar en el que la transformación aparente es una división por una expresión que no puede suponerse distinta de cero. (Un error de este tipo es probablemente mucho más fácil de detectar si se añaden al menos algunos comentarios como "Ahora divido ambos lados por ...")

• Puede ocurrir que algunas personas sean más fáciles de convencer que otras, demasiado fáciles a veces, es decir, puede ocurrir que un argumento sea aceptado por algunos y durante bastante tiempo hasta que se descubra que realmente hay una laguna. Tal vez éste sea el riesgo de la noción laxa de prueba tal como se ha formulado anteriormente. Como las matemáticas suelen estar muy orgullosas de su rigor y de sus pruebas indudables, a menudo se descuida esta posibilidad o incluso se niega mentalmente. Pero en general, estos errores son muy raros y, de hecho, los trabajos que pretenden demostrar un resultado muy significativo suelen ser sometidos a un escrutinio extremo durante cierto tiempo hasta que se aceptan (como la demostración de Wiles de un teorema que tiene como corolario el último teorema de Fermat).

• Si uno realmente exige formal pruebas, se necesita considerablemente largo para lograr resultados significativos (por ejemplo Principia Mathematica tiene una prueba de $1+1=2$ sólo en la mitad del volumen 2).

• Hay proyectos en curso para traducir explícitamente varios resultados importantes de lo informal a lo formal. Incluso puede ocurrir que estos proyectos den con algunas lagunas menores (y resolubles), pero en general se duda de que puedan encontrar real obstáculos. Y aunque personalmente encontraría significativamente convincente para el resultado probado si tal traducción comprobable por ordenador tiene éxito - la prueba "real" sigue siendo el original informal ...

Answer 2

Aquí está la de Doron Zeilberger opinión que se refiere a este tema con una indicación de algunos comentarios míos (que incluyen algunas observaciones sobre el punto de Hagen sobre Principia Mathematica ).

Answer 3

Mi opinión personal va más por ahí:

Una prueba es válida si convence a un número significativo de expertos en de expertos en la materia para que la declaren válida.

Un ejemplo claro fue la prueba de Andrew Wiles de la FLT, una prueba larga y complicada, con fallos iniciales también, en un tema en el que sólo unos pocos profundizaban.

Un estudiante de doctorado en álgebra me dijo entonces que necesitaría dos años de preparación para empezar a entenderlo. Parece que menos de 50 personas fueron capaces de juzgar esa prueba cuando se publicó. Así que tal vez 20 personas hicieron el trabajo y dijeron que lo consideraban correcto. ¿Es válida esa prueba? :-)

Entonces podríamos comparar a los primeros pioneros del cálculo, como los Bernoullis, Euler, Leibniz y Newton, con los últimos, más críticos, como Cauchy y Weierstrass. Este último grupo parece haber deseado más rigor que el primero. Una prueba que era lo suficientemente buena para el primer grupo probablemente no era lo suficientemente buena para el segundo grupo unos cien años después.

Así que una prueba es válida, en el mejor de los casos, para un determinado grupo que confía en entenderla y refleja la opinión de ese grupo de que es suficiente.

Si presentamos una prueba a varios grupos, por ejemplo

• algunas personas en la calle
• sus vecinos
• estudiantes de secundaria
• candidatos republicanos a la presidencia de Estados Unidos, como Donald Trump o el Dr. Ben Carson
• matemáticos
• físicos
• expertos en la materia
• científicos antiguos o modernos

¿en qué opinión debemos confiar para que sea más probable que esté de acuerdo con la verdad matemática (decidir si la prueba demuestra su afirmación o no)? La sabiduría convencional consiste en confiar en los expertos establecidos, que, por supuesto, también pueden estar equivocados.

Sobre el "lenguaje informal" frente al "lenguaje formal":

El uso de qué lenguaje y nivel de abstracción debe guiarse por lo útil que sea para el trabajo de describir y resolver el problema en cuestión.

El cerebro de un matemático podría funcionar mejor con un lenguaje informal combinado con un lenguaje formal, mientras que una máquina, que ejecuta el software de un comprobador de teoremas (por ejemplo Coq ), sólo tiene, en el estado actual de la técnica, la opción de alimentarse con el lenguaje formal.

Ambos planos de descripción y funcionamiento tienen sus ventajas o desventajas, yo veo que ambos se complementan. No diría que una prueba formal es mejor per se, es más difícil de crear, de entender y propensa a errores también. Por supuesto, puede aprovechar la increíble velocidad, precisión y memoria de una máquina moderna.

Answer 4

En primer lugar, la distinción no es tan importante como se cree. Cuando se utiliza una formulación informal se puede considerar una descripción abreviada de cómo se haría la prueba formal - al igual que una receta de pan de jengibre no es un pan de jengibre, pero permite a cualquiera producir pan de jengibre si está interesado en hacerlo. Tenga en cuenta que compartir una prueba es una cuestión de transferir el conocimiento de la prueba a un receptor y si el receptor está convencido de que puede producir una prueba formal, realmente producir una prueba formal o está convencido de que la prueba es lo suficientemente buena - entonces es lo suficientemente bueno.

En segundo lugar, el lenguaje informal podría parecerse a un lenguaje informal, pero no hay nada que impida que un sistema formal se parezca a algún parecido de un lenguaje natural. Se podría crear "simplemente" un mapa biyectivo entre un subconjunto del lenguaje natural y el del sistema formal. Entonces lo que parece una prueba informal podría ser una imagen de una prueba formal o incluso una prueba formal en sí misma.

Answer 5

No es necesario cambiar, ni ampliar la idea de una prueba matemática sólo porque muchos campos utilicen un lenguaje informal. Es cierto que el lenguaje informal puede ser más claro para la gran mayoría de la gente, pero ese lenguaje sólo puede utilizarse para explicar la idea de la prueba. Por otro lado, el lenguaje formal es entendido por un grupo muy pequeño de matemáticos. Mientras que el lenguaje informal permite un "error" en una demostración que puede ser entendido de forma ambigua y llevar a una demostración falsa, esto no puede ocurrir con una demostración matemática rigurosa. Un error en una prueba rigurosa a veces sólo lo puede encontrar un matemático bien entrenado. \experienced especialista del campo en cuestión. Esto hace que la vida no sea tan sencilla como deseamos, pero es el precio que tenemos que pagar. Creo que alejarse de una forma \rigorous Las pruebas matemáticas no conducen a nada bueno, sino a la ambigüedad.