Hay un campo de vectores que es todo lo contrario de un conservador

Question

Hay tres dimensiones de campo vectorial tal que para todo no selfintersecting curva cerrada (que no es un solo punto, para evitar degenerados de los casos) de la respectiva línea de la integral de la curva se convierte en no-cero?

Si no, lo que si sé que cada punto de la curva tiene todos sus coordenadas positivas?

Answer 1

No se puede hacer, ni siquiera localmente: Considere el círculo unidad $\gamma_0$ $(x,y)$- plano hechas de alambre y orientado hacia la izquierda. Vamos $$\oint_{\textstyle\gamma_0 }{\rm F}\cdot d{\bf x}=:c\ne0\ .$$ Now turn the circle in space a total of $180$ degrees, using the $x$-axis as axis, with intermediate positions $\gamma_t$ $\>(0\leq t\leq\pi)$. At time $\pi$ estamos de nuevo en la posición inicial, pero con el sentido de la dirección inversa. Entonces $$\oint_{\textstyle\gamma_\pi}{\rm F}\cdot d{\bf x}=-c\ .$$ Por la continuidad tiene que haber un $t\in\ ]0,\pi[\ $ para los que $$\oint_{\textstyle\gamma_t}{\rm F}\cdot d{\bf x}=0\ .$$