Solucionar $x-\lfloor x\rfloor= \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{\lfloor x\rfloor}}$

Question

Podría alguien aconsejarme cómo resolver el siguiente problema:

Encontrar todos los $x \in \mathbb{R}$ tal que $x-\lfloor x\rfloor= \dfrac{2}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}},$ donde $\lfloor *\rfloor$ denota el mayor entero de la función.

Aquí va mi intento:

Claramente, $x \not \in \mathbb{Z}.$

$\dfrac{x}{\lfloor x \rfloor} - \dfrac{\lfloor x \rfloor}{x}= 2$

$ \implies x^2 -2x\lfloor x \rfloor - \lfloor x \rfloor ^2 = 0$

$\implies x = (1 \pm \sqrt2 )\lfloor x \rfloor $

$\implies \{x\} = \pm\sqrt2 \lfloor x \rfloor$

Gracias.

Answer 1

Completando el cuadrado da $$ x^2-2x\lfloor x\rfloor+\lfloor x\rfloor^2=2\lfloor x\rfloor^2 $$ así $$ (x-\lfloor x\rfloor)^2=2\lfloor x\rfloor^2 $$ Desde $0\le x-\lfloor x\rfloor<1$, llegamos a la conclusión de $\lfloor x\rfloor=0$ que es rechazado por la partida de la ecuación.

Answer 2

Usted tiene $$x=(1\pm\sqrt 2)\lfloor x\rfloor.$$

Ahora vamos a $\lfloor x\rfloor=k\in\mathbb Z$ donde $k\not=0$. Entonces $$k\le x\lt k+1\Rightarrow k\le (1\pm\sqrt 2)k\lt k+1\Rightarrow k=0.$$

Así, no hay tal $x\in\mathbb R$.