Cohomology grupo de cociente.

Question

Deje $G$ ser finito grupo que actúa sobre un colector $M$ sin punto fijo. El estándar de Leray-Cartan-Serre espectral de la secuencia argumento muestra que $$ H^k(M,\mathbb{Q})^G\cong H^k(M/G,\mathbb{Q}). $$ Esto significa, en particular, que el rango de $H^k(M,\mathbb{Z})^G$=rango $H^k(M/G,\mathbb{Z})$.

También tenemos una natural mapa de $\pi^{*}:H^k(M/G,\mathbb{Z})\rightarrow H^k(M,\mathbb{Z})^G$ mediante el cociente mapa de $\pi:M\rightarrow M/G$.

Es cierto que $\pi^{*}$ es de inyección (y, por tanto, que el $H^k(M/G,\mathbb{Z})\subset H^k(M,\mathbb{Z})^G$ es de índice finito)?

Answer 1

No. Tomemos, por ejemplo, $M=S^n$, $G=\mathbb Z/2$ (actuando por antipodal involución). Ahora todos cohomology grupos $H^k(M)$ $0<k<n$ son triviales, pero la mitad de $H^k(M/G=\mathbb RP^n)$ no lo son.

Pero la afirmación es verdadera para n-veces cubiertas de si uno se adhiere 1/n para los coeficientes: puesto que (por la n-veces la cobertura) $\pi_*\pi^*$ es igual a la multiplicación por n, $f^*$ es inyectiva cuando n es invertible; o para decirlo de otra manera: $\ker \pi^*\subset \ker(x\mapsto nx)$.