Demostrando que $2^{2^n} + 5$ siempre está compuesto por trabajo modulo $3$

Question

Al trabajar con modulo 3, demostrar que $2^{2^n} + 5$ siempre es compuesto por cada n entero positivo.

No hay necesidad de una prueba formal de inducción, la idea básica será grande.

Answer 1

La idea básica es, trabajo modulo 3. ¿Qué pasa, modulo 3, subes 2 a una potencia incluso?

Answer 2

Obviamente $2^2 \equiv 1 \pmod 3$.

Si la descrita anteriormente, en congruencia con el poder de $k$ consigue $$(2^2)^k=2^{2k} \equiv 1^k=1 \pmod 3$$ lo que significa que $2$ elevado a cualquier potencia es congruente a $1$ modulo $3$.

¿Qué se puede decir acerca de la $2^{2k}+5$ modulo 3?

Es bueno tener en mente que usted puede tomar los poderes de congruencias, multiplicar ellos y agregar a ellos juntos.

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Si usted ha terminado la anterior, que han demostrado que $3\mid 2^{2k}+5$. ¿Esto implica que $2^{2k}+5$ es compuesto?

Answer 3

Sugerencia: reescribir la base con el hecho de que $2\equiv -1 \bmod 3$.

Answer 4

Con el fin de trabajar de este problema, hemos de empezar por darse cuenta de $2^2\equiv 1 ~~~(\text{mod } 3)$.

Lo que esto significa es $2^2$ ( $4$ ) $1$ mayor que en el caso de varios de $3$ (múltiples que, en este caso es, obviamente, $3$)

Así que si $2^2\equiv 1 ~~~(\text{mod } 3)~~\implies (2^2)^n\equiv (1)^n ~~~(\text{mod } 3)\implies 2^{2n}\equiv 1~~(\text{mod } 3)$,
De nuevo, esto significa que incluso el poder de $2$ $1$ mayor que en el caso de varios de $3$.

Así que si $2^{2n}$ $1$ mayor que en el caso de varios de $3$ (otra manera de decir esto es que el $2^{2n}$ deja un resto de $1$ cuando se divide por $3$), entonces, ¿qué puedes decir acerca de $2^{2n}+5$?.

Para responder a esto, olvídate de $2^{2n}$ y sólo pensar en el resto (me.e $1$). Esta es la forma en la aritmética modular hace que nuestra vida sea mucho más fácil. Si $2^{2n}$ $1$ mayor que en el caso de varios de $3$, $2^{2n}+5$ debe $1+5=6$ mayor que la de varios de $3$, ¿verdad? Pero usted sabe que $6$ es, por sí mismo, un múltiplo de $3$. Así, esto debe significar que $3|2^{2n}+5$.

Una más formal (y una cuidada) argumento podría ser:
$3|2^{2n}-1\implies 3|2^{2n}+5$, ya que el $2^{2n}+5=(2^{2n}-1+6)$

Ahora ya que se ha demostrado que el $2^{2n}+5$ es de hecho un múltiplo de $3$, debe ser evidente que el $2^{2n}+5$ es, después de todo, composite.

Espero te sirva de ayuda!

Answer 5

$2^(2n) +5$ es lo mismo que $4^{n} +5 =(3+1)^n +5$
Si se expandiera la $(3+1)^n$ parte, cada término sería divisible por $3$ (excepto el último período $1$) La expresión completa sería de la forma $(3m +1) +5 = 3m +6$ que es divisible por $3$.